1 Среди 17 студентов группы из которых 8 девушек разыгрываются 7 билетов

1. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрываются 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

Решение:

Используем классическое определение вероятности:
PA=mn.
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 7 человек из 17:
n=C177=17!7!∙17-7!=17!7!∙10!.
Пусть событие A- «среди обладателей билетов 4 девушки». Определим количество исходов, благоприятствующих появлению этого события. Выбрать 4 человек из 8 девушек можно C84 способами, при этом еще 3 человека должны быть выбраны из 9 юношей, это можно сделать C93 способами. По правилу произведения:
m=C84∙C93=8!4!∙8-4!∙9!3!∙9-3!=8!4!∙4!∙9!3!∙6!.
Таким образом, искомая вероятность равна:
PA=8!4!∙4!∙9!3!∙6!17!7!∙10!=8!∙9!∙7!∙10!4!∙4!∙3!∙6!∙17!=5∙6∙7∙8∙7∙8∙9∙5∙6∙71∙2∙3∙11∙12∙13∙14∙15∙16∙17=7∙3∙5∙711∙13∙17≈0,30.

Ответ: 0,30.

2. В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется менее двух красных шаров.

Решение:

Используем классическое определение вероятности:
PA=mn.
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 3 шара из 10:
n=C103=10!3!∙10-3!=10!3!∙7!=8∙9∙101∙2∙3=4∙3∙10=120.
Пусть событие A1-«среди извлеченных 0 красных шаров», т.е. все 3 шара белые. Количество исходов, благоприятствующих появлению этого события, равно количеству способов выбрать 3 шара из 4 белых:
m=C43=4!3!∙4-3!=4!3!∙1!=4.
Тогда вероятность этого события:
PA1=4120=130.
Пусть событие A2-«среди извлеченных 1 красный шар». Определим количество исходов, благоприятствующих появлению этого события. Выбрать 1 шар из 6 красных можно 6 способами, при этом еще 2 шара должны быть выбраны из 4 белых, это можно сделать C42 способами. По правилу произведения:
m=6∙C42=6∙4!2!∙4-2!=6∙4!2!∙2!=6∙3∙41∙2=6∙3∙2=36.
Вероятность события A2 равна
PA2=36120=930.
Пусть событие A-«среди извлеченных менее 2 красных шаров». Это событие состоит в том, что среди извлеченных или 0, или 1 красный шар.
Используя теорему сложения, находим:
PA=PA1+A2=PA1+PA2=130+930=1030=13.

Ответ: 13.

3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна 0,95.

Решение:

Обозначим: вероятность работы i-го элемента pi=0,95.

Электрическая цепь состоит из 3 блоков A, B, C.
Найдем вероятности безотказной работы каждого их этих блоков.

Блок A содержит только один элемент 1, поэтому вероятность его работы равна
PA=p1=pi.

Блок B состоит из двух частей: B1, содержащей элементы 2 и 3, и B2, содержащей элемент 4. Часть B1 работает, если работают оба элемента 2 и 3. Вероятность безотказной работы этого блока по теореме умножения равна:
PB1=p2∙p3=pi2.
Вероятность противоположного события B1- «часть B1 не работает» равна:
PB1=1-PB1=1-pi2.
Вероятность работы части B2, содержащей только один элемент 4, равна вероятности работы этого элемента:
PB2=p4=pi.
Вероятность противоположного события B2- «часть B2 не работает» равна:
PB2=1-PB2=1-pi.
Пусть событие B- «блок B безотказно работает». Это событие заключается в том, что работает хотя бы одна из частей B1 и B2 и противоположно событию B- «ни одна из частей B1 и B2 не работает». Используя теорему умножения, найдем вероятность события B:
PB=PB1B2=PB1∙PB2=(1-pi2)∙1-pi.
Тогда вероятность работы блока B равна:
PB=1-PB=1-(1-pi2)∙1-pi.

Блок C состоит из двух частей: C1, содержащей элементы 5 и 6, и C2, содержащей элемент 7.
Часть C1 работает, когда работает хотя бы один из элементов 5,6. Найдем вероятность противоположного события C1- «ни один из элементов 5, 6 не работает»:
PC1=p5∙p6=pi2=1-pi2.
Часть C2 работает, когда работает элемент 7. Значит, вероятность противоположного события C2- «часть C2 не работает» равна:
PC2=1-pi.
Пусть событие C- «блок C безотказно работает». Это событие заключается в том, что работает хотя бы одна из частей C1 и C2 и противоположно событию C- «ни одна из частей C1 и C2 не работает». Используя теорему умножения, найдем вероятность события B:
PC=PC1C2=PC1∙PC2=(1-pi2)∙1-pi.
Тогда вероятность работы блока C равна:
PC=1-PC=1-(1-pi2)∙1-pi.

Пусть событие D- «безотказная работа всей электрической цепи». Это событие заключается в том, что работают все три блока A, B, C.
Используя теорему умножения, найдем вероятность этого события:
PD=PABC=PA∙PB∙PC=pi∙1-1-pi2∙1-pi∙1-1-pi2∙1-pi=0,95∙1-1-0,952∙1-0,952≈0,941.

Ответ: 0,941.

4. Два завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность брака для 1-го завода равна 0,05, для 2-го – 0,10. Первый завод имеет два конвейера; второй – один конвейер. Детали с заводов поступают на склад. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет годной.

Решение:

Введем полную группу гипотез:
H1-деталь выпущена первым заводом;
H2-деталь выпущена вторым заводом.
Найдем вероятности сделанных гипотез. В условии задачи сказано, что первый контейнер выпускает в два раза больше деталей, чем второй:
PH1=2PH2.
При этом гипотезы образуют полную группу. Значит,
PH1+PH2=1.
Решаем полученную систему уравнений:
PH1=2PH2,PH1+PH2=1;⟺PH1=2PH2,2PH2+PH2=1;⟺PH2=13,PH1=23.
Пусть событие A- «наудачу взятая деталь оказалась годной». Найдем условные вероятности этого события при сделанных гипотезах из условия задачи:
PAH1=1-0,05=0,95;PAH2=1-0,10=0,90.
Найдем вероятность события A, используя формулу полной вероятности:
PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2=23∙0,95+13∙0,90≈0,933.

Ответ: 0,933.
5. Электрическая цепь состоит из 7 параллельно включенных потребителей. Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее половины потребителей.

Решение:

Пусть событие A- «откажет менее половины потребителей». Это событие заключается в том, что откажет или 0, или 1, или 2, или 3 потребителя.
Для решения задачи используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnkpkqn-k.
В нашем случае,
n=7, k=0, 1, 2, 3, q=0,9, p=1-q=1-0,9=0,1.
Используя теорему сложения находим:
PA=P70+P71+P72+P73=C70∙0,10∙0,97-0+C71∙0,11∙0,97-1+C72∙0,12∙0,97-2+
+C73∙0,13∙0,97-3=7!0!∙7-0!∙0,10∙0,97+7!1!∙7-1!∙0,11∙0,96+7!2!∙7-2!∙0,12∙0,95+7!3!∙7-3!∙0,13∙0,94=7!0!∙7!∙0,10∙0,97+7!1!∙6!∙0,11∙0,96+7!2!∙5!∙0,12∙0,95+7!3!∙4!∙0,13∙0,94=1∙0,10∙0,97+7∙0,11∙0,96+6∙71∙2∙0,12∙0,95+
+5∙6∙71∙2∙3∙0,13∙0,94≈0,4783+0,3720+0,1240+0,0230≈0,9973.

Ответ: 0,9973.
6. Что вероятнее – выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается) не менее трех партий из пяти, не менее 30 партий из 50 или ровно 30 партий из 50?

Решение:

1. Пусть событие A- «выигрыш не менее 3 партий из 5». Это событие заключается в том, что выигрышей будет или 3, или 4, или 5.

Используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnkpkqn-k.
В нашем случае,
n=5, k=3, 4, 5, p=0,5, q=1-p=1-0,5=0,5.

Используя теорему сложения находим:
PA=P53+P54+P55=C53∙0,53∙0,55-3+C54∙0,54∙0,55-4+C55∙0,55∙0,55-5=5!3!∙5-3!∙0,53∙0,52+5!4!∙5-4!∙0,54∙0,51+5!5!∙5-5!∙0,55∙0,50=5!3!∙2!∙0,53∙0,52+5!4!∙1!∙0,54∙0,51+5!5!∙0!∙0,55∙0,50=4∙51∙2∙0,53∙0,52+5∙0,54∙0,51+1∙0,55∙0,50=0,3125+0,15625+0,03125=0,5.

2. Пусть событие B-«выигрыш не менее 30 партий из 50».

Для определения искомой вероятности используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
Pnk1;k2≈Фk2-npnpq-Фk1-npnpq,
где Фx – функция Лапласа.

В нашем случае:
n=50, p=0,5, q=1-p=1-0,5=0,5, k1=30, k2=50.

Тогда получим:
PB=P5030;50≈Ф50-50∙0,550∙0,5∙0,5-Ф30-50∙0,550∙0,5∙0,5=Ф7,06-Ф1,41,
используя таблицу значений функции Лапласа, находим:
Ф7,06=0,5;
Ф1,41=0,4207.
Следовательно,
PB=0,5-0,4207=0,0793.

3. Пусть событие C- «выигрыш ровно 30 партий из 50».

Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
Pnk=1npq∙φk-npnpq,

в нашем случае
n=50, k=30, p=0,5, q=1-p=1-0,5=0,5.

Находим:
PC=P5030=150∙0,5∙0,5∙φ30-50∙0,550∙0,5∙0,5=13,54φ1,41.

Используя таблицу значений функции Гаусса, находим:
φ1,41=0,1476,

значит, искомая вероятность:
PC=0,14763,54=0,042.

Сравнивая найденные вероятности событий, видим, что вероятнее выиграть 3 партии из 5.

Ответ: вероятнее всего выиграть 3 партии из 5.

7. В команде 11 спортсменов, из них 7 первого разряда и 4 второго. Наудачу выбраны 3 спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины X- числа спортсменов первого разряда среди отобранных.

Решение:

Случайная величина X- число спортсменов первого разряда может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности этих значений, используя классическое определение вероятности:
PA=mn.
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 3 спортсмена из 11:
n=C113=11!3!∙11-3!=11!3!∙8!=9∙10∙111∙2∙3=165.
1. X=0. Количество исходов, благоприятствующих появлению этого события равно количеству способов выбрать 3 спортсменов из 4 спортсменов второго разряда:
m=C43=4!3!∙4-3!=4!3!∙1!=4.
Вероятность искомого события равна
PX=0=4165.

2. X=1. Определим количество исходов, благоприятствующих появлению этого события. Выбрать 1 спортсмена из 7 первого разряда можно 7 способами, при этом еще 2 спортсмена должны быть выбраны из 4 второго разряда, это можно сделать C42 способами. По правилу произведения находим:
m=7∙C42=7∙4!2!∙4-2!=7∙4!2!∙2!=7∙3∙41∙2=42.
Тогда
PX=1=42165.

3. X=2. Определим количество исходов, благоприятствующих появлению этого события. Выбрать 2 спортсменов из 7 первого разряда можно C72 способами, при этом еще 1 спортсмен должен быть выбран из 4 второго разряда, это можно сделать 4 способами. По правилу произведения находим:
m=4∙C72=4∙7!2!∙7-2!=4∙7!2!∙5!=4∙6∙71∙2=84.
Тогда
PX=2=84165.

4. X=3. Количество исходов, благоприятствующих появлению этого события равно количеству способов выбрать 3 спортсменов из 7 спортсменов первого разряда:
m=C73=7!3!∙7-3!=7!3!∙4!=5∙6∙71∙2∙3=35.
Вероятность искомого события равна
PX=3=35165.

Запишем ряд распределения:
xi
0 1 2 3
ni
4165
42165
84165
35165

8. Случайная величина X задана рядом распределения
X
-2 1,2 1,5 3
P
0,2 0,15 0,4 …

Найти M(2X2-X) и D(2X2-X).

Решение:

Найдем недостающее значение вероятности из условия
pi=1:
0,2+0,15+0,4+p4=1,
значит,
p4=0,25.

Тогда ряд распределения:
X
-2 1,2 1,5 3
P
0,2 0,15 0,4 0,25

Составим ряд распределения случайной величины Y=(2X2-X):
X=-2, Y=2∙-22—2=10;
X=1,2, Y=2∙1,22-1,2=1,68;
X=1,5, Y=2∙1,52-1,5=3;
X=-2, Y=2∙32-3=15.

Упорядочив полученные значения по возрастанию, получаем:
Y
1,68 3 10 15
P
0,15 0,4 0,2 0,25

Находим математическое ожидание:
MY=yipi=1,68∙0,15+3∙0,4+10∙0,2+15∙0,25=7,2.
Находим дисперсию:
DY=yi2pi-MY2=1,682∙0,15+32∙0,4+102∙0,2+152∙0,25-7,22=28,4.

9. При штамповке металлических клемм получается в среднем 98% годных. Какова вероятность того, что среди 200 клемм будут две; более двух бракованных?

Решение:

Из условия задачи следует, что не годных клемм получается в среднем 2%.
Решим задачу с помощью теоремы Пуассона.
Так как вероятность p=2%=0,02 наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n=200 велико, то используем теорему Пуассона:
Pnm=λmm!∙e-λ,
где λ=n∙p.
Находим:
λ=200∙0,02=4.
Определим вероятность того, что среди 200 клемм будет ровно 2 бракованных:
P2002=422!∙e-4=161∙2∙e-4≈0,146.
Пусть событие A- «среди 200 клемм более 2 бракованных». Найдем вероятность противоположного события A- «среди 200 клемм не более 2 бракованных», т.е. или 0, или 1, или 2.
Найдем вероятность этого события, используя теорему сложения вероятностей:
PA=P2000+P2001+P2002=400!∙e-4+411!∙e-4+422!∙e-4=1+4+8∙e-4≈0,237.

Ответ: 0,146; 0,237.
10. Плотность вероятностей случайной величины X равна
fx=0, при x<0,a∙sinx, при 0<x<π,0, при x>π.
Найти коэффициент a, интегральную функцию распределения Fx, MX, D(X) и P0<X<2π3.

Решение:

1. Найдем коэффициент a из условия нормировки
-∞+∞fxdx=1:0πa∙sinxdx=a0πsinxdx=a∙(-cosx)0π=-a∙cosπ-cos0=-a∙-1-1=2a=1,
откуда
a=12.
Значит, плотность распределения имеет вид:
fx=0, при x<0,12sinx, при 0<x<π,0, при x>π.

Найдем интегральную функцию распределения из определения
Fx=-∞xfxdx.
1) при x<0 fx=0 и
Fx=-∞x0dx=0;
2) при 0<x≤π fx=12sinx и
Fx=-∞00dx+0x12sinxdx=0+120xsinxdx=12(-cosx)0x=-12cosx-cos0=12-12cosx;
3) при x>π fx=0 и
Fx=-∞00dx+0π12sinxdx+πx0dx=0+120πsinxdx+0=12(-cosx)0π=-12cosπ-cos0=-12-1-1=1,
Таким образом, функция распределения имеет вид:

Fx=0, при x<0,12-12cosx, при 0<x<π,1, при x>π.
Находим математическое ожидание:
MX=-∞+∞x∙fxdx=0πx∙12sinxdx=120πxsinxdx=интегрируем по частям:u=x, du=dx;dv=sinxdx, v=-cosx=12-xcosx0π-0π-cosxdx=12-πcosπ-0cos0+0πcosxdx=12-π∙(-1)-0+sinx0π=12π+sinπ-sin0=12π+0-0=π2.

Находим дисперсию:
DX=-∞+∞x2∙fxdx-MX2=0πx2∙12sinxdx-π22=120πx2sinxdx-π24=интегрируем по частям:u=x2, du=2xdx;dv=sinxdx, v=-cosx=12-x2cosx0π-0π-cosx∙2xdx-π24=12-π2cosπ-0cos0+20πxcosxdx-π24=12-π2-1-0+20πxcosxdx-π24=π22+20πxcosxdx-π24=20πxcosxdx+π24=интегрируем по частям:u=x, du=dx;dv=cosxdx, v=sinx=2xsinx0π-0πsinxdx+π24=2πsinπ-0sin0+cosx0π+π24=20+(cosπ-cos0+π24=2-1-1+π24=π24-2.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a;b) можно определить по формуле:
Pa<X<b=Fb-Fa,
тогда находим:
P0<X<2π3=F2π3-F0=12-12cos2π3-0=12-12∙-12=12+14=34.

11. На станке изготавливается деталь. Ее длина X- случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрамиa=22,0 см, σ=1,4 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 24,1 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,90; 0,95? В каких пределах, симметричных относительно a будут лежать практически все размеры деталей?

Решение:

1. Вероятность того, что случайная величина будет заключена в интервале (x1;x2) найдем по формуле:
Px1<X<x2=Фx2-aσ-Фx1-aσ,
где Фx- функция Лапласа.
Находим:
P20<X<24,1=Ф24,1-221,4-Ф20-221,4=Ф1,5-Ф-1,43.
Из таблицы значений функции Лапласа, учитывая, что функция нечетная, находим:
Ф1,5=0,4332,
Ф-1,43=-Ф1,43=0,4236.
Тогда искомая вероятность:
P20<X<24,1=0,4332—0,4236=0,4332+0,4236=0,8568.

2. Используем следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
Px-a<δ=2Фδσ,
а) если Px-22<δ=0,90, то
2Фδ1,4=0,90,Фδ1,4=0,902=0,45.
По таблице значений функции Лапласа определяем:
δ1,4=1,65,
откуда
δ=1,65∙1,4=2,31.
С вероятностью 0,90 можно гарантировать отклонение длины детали от a (по абсолютному значению) не более 2,31;

б) если Px-22<δ=0,95, то
2Фδ1,4=0,95,Фδ1,4=0,952=0,475.
По таблице значений функции Лапласа определяем:
δ1,4=1,96,
откуда
δ=1,96∙1,4=2,744.
С вероятностью 0,95 можно гарантировать отклонение длины детали от a (по абсолютному значению) не более 2,744 см..

3. Согласно правилу трех сигм, практически все размеры деталей будут лежать в диапазоне [a-3σ;a+3σ], определяем границы диапазона:
22-3∙1,4;22+3∙1,4,
17,8;26,2.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

один − один =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector