3 В вершинах квадрата со стороной 0 1 м помещены точечные заряды по 0

3. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены точечные заряды по 0,1 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в центре квадрата, если один из зарядов отличается по знаку от остальных.
Дано:
а = 0,1 м;
нКл = 50∙10-9 Кл;
Определить φс, Ес.
Q3
Q4

Q1
Q2
φс
а
Е2
Е4
с
Решение
При записи условия предполагается, что три заряда положительные, а четвёртый отрицательный. Результат, для другой конфигурации (три отрицательных и один положительный) легко получается из результата для первого случая
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, результирующий потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в этой точке. На рисунке показаны геометрические элементы задачи.
Потенциал точечного заряда Q определяется формулой
(1)
Q — величина заряда,
r – расстояние от заряда,
ε0 = 8,85∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная,
ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды,
(в данном случае ε = 1, воздух или вакуум),
В∙м/Кл – коэффициент закона Кулона.
В данном случае расстояние до каждого заряда равно половине диагонали , где а – сторона квадрата. Суммируем потенциалы с учётом знаков зарядов.

Если три отрицательных заряда и один положительный, то в этом случае

Определяем теперь напряжённость в центре квадрата как векторную сумму напряжённостей от каждого заряда.
Сумма напряжённостей от одинаковых противоположных зарядов Q1 и Q3 равна нулю и на рисунке не показана.
Напряжённости разноимённых зарядов Q2 и Q4 (Е2 и Е4 соответственно) показаны на рисунке.
Напряжённость поля точечного заряда выражается формулой:
(2)
Обозначения те же, что и в формуле (1)
Векторы напряжённостей направлены одинаково вдоль диагонали квадрата, поэтому результирующая напряжённость
В/м

Если три отрицательных заряда и один положительный, то в этом случае суммарная напряжённость будет такой же, но направление её изменится. Она в обоих случаях направлена от положительного заряда к отрицательному по диагонали, соединяющей эти заряды.

Ответ: в центре квадрата потенциал
(три положительных заряда)
(три отрицательных заряда)
Напряжённость в обоих случаях одинакова МВ/м и направлена от отрицательного к противоположному по диагонали положительному заряду.

13. Какую работу нужно совершить, чтобы точечные заряды 1 и 2 нКл, находившиеся на расстоянии 0,5 м, сблизились до 0,1 м?
Дано:
Q1 = 1 нКл = 10-9 Кл;
Q2 = 2 нКл = 2∙10-9 Кл;
d1 = 0,5 м;
d2 = 0,1 м;
Определить A.
Решение
Работа А, совершаемая электростатическим полем равна изменению потенциальной энергии W зарядов.
(1)
Вычисляем потенциальную энергию зарядов при двух положениях:
начальное r = d1, конечное r = d2
Потенциальная энергия двух точечных зарядов выражается формулой:
(2)
Q – величины зарядов, r – расстояние между ними, k = 9∙109 Н∙м2/Кл2 постоянная закона Кулона; ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды (полагаем ε = 1)
Используя формулы (1) и (2), получаем:
(3)
Проверка размерности

Вычисляем Дж

Работа поля отрицательна, это означает, что потенциальная энергия зарядов возрастает, что возможно только за счёт положительной работы внешней силы.

Ответ: работа внешних сил по сближению зарядов равна А = 0,144 мкДж

23. Заряд на каждом из двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью 18 и 10 пФ равен 0,09 нКл. Определить напряжение: а) на батарее конденсаторов; б) на каждом конденсаторе.
Дано:
С1 = 18 пФ = 18∙10-12 Ф;
С2 = 10 пФ = 10∙10-12 Ф;
Q1 = Q2 = Q = 0.09 нКл = 9∙10-11 Кл;
Определить
а) U, б) U1 , U2
Решение
При последовательном соединении конденсаторы имеют одинаковый заряд.
Определяем напряжение на каждом конденсаторе

Суммарное напряжение на батарее равно сумме напряжений на каждом конденсаторе

Ответ:
а) б)

33. Напряжение на концах проводника сопротивлением 5 Ом за 0,5 с равномерно возрастает от 0 до 20 В. Какой заряд проходит через проводник за это время?
Дано:
R = 5 Ом;
U 1= 0 В;
U2 = 20 В;
∆t = 0,5 c.
Определить Q.
Решение

Ток в цепи I определяется законом Ома
(1)
U – напряжение на участке цепи, R – сопротивление участка цепи.
Если ток изменяется со временем, то протекающий заряд определяется суммой зарядов, протекающих за бесконечно малые промежутки времени, т.е. интегралом.

(2)

Напряжение возрастает равномерно, т.е. функция U(t) – линейная.
Можно подобрать эту функцию по значению её в двух точках:

(3)
Теперь вычисляем интеграл

Кл

Ответ: Q = 1,0 Кл

43. По двум бесконечно длинным прямолинейным параллельным проводникам, расстояние между которыми 15 см, в противоположном направлении текут токи 4 и 6 А. Определить расстояние от проводника с меньшим током до геометрического места точек, в котором напряженность магнитного поля равна нулю.
Дано:
I1 = 6 A;
I2 = 4 A;
d = 15 см = 0,15 м;
Найти: r

I1
I2
d
r
А
Н1 12
Н2 12
Н2 12
Н1 12
Решение
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, суммарная напряжённость нескольких токов равна векторной сумме напряжённостей от каждого тока.
На рисунке показана схема сложения напряжённостей на линии между токами (здесь они направлены в одну сторону и нуль в сумме дать не могут) и за пределами проводов на соединяющей линии. В этих областях напряжённости направлены противоположно и могут дать в сумме нуль, если точка А будет находиться ближе к проводу с меньшим током. Направления напряжённостей определялись по правилу буравчика.
Нулевая напряжённость будет на всей линии, проходящей через точку А, параллельной проводам.
В других точках вне этой линии, обращение суммарной напряжённости в нуль невозможно, так как векторы направлены под углом () друг к другу.
Напряжённость магнитного поля бесконечного прямого тока определяется формулой
(1)
r – расстояние до провода, I – сила тока.
Запишем равенство напряжённостей для точки А

м
Ответ: напряжённость поля равна нулю на линии, лежащей в плоскости проводов и параллельной им, отстоящей на 30 см от тока 4 А

53. Найти радиус траектории протона в магнитном поле с индукцией 0,5 Тл, если он движется перпендикулярно ему и обладает кинетической энергией 3 МэВ
Дано:
протон:
q = 1,6∙10-19 Кл;
m = 1,67∙10-27 кг;
Wk = 3 МэВ = 3∙106∙1,6∙10-13 Дж;
В = 0.5 Тл;
Найти R.
Решение
Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, определяется формулой:
(1)
q – заряд частицы (в данном случае q = е, элементарному заряду, протон)
– скорость движения,
В – индукция магнитного поля,
α – угол между вектором скорости частицы и вектором индукции (в данном случае α = 900, )
Эта сила принуждает частицу двигаться по окружности.
Составим уравнение движения по окружности с центростремительной силой, равной силе Лоренца и выразим радиус окружности.
(2)
q– заряд протона;
R – радиус окружности,
m – масса протона.
Кинетическая энергия протона Wk значительно меньше его энергии покоя (938 МэВ) и поэтому для выражения скорости можно использовать формулу классической механики
Выражаем скорость частицы
(3)
Подставляем (3) в (2) и выражаем искомую величину
(4)
Проверка размерности

Вычисление
м
Ответ:
радиус траектории движения протона м

63. На концах крыльев самолета размахом 20 м, летящего со скоростью 900 км/ч, возникает электродвижущая сила индукции 0,06 В. Определить вертикальную составляющую напряженности магнитного поля Земли.
Дано:
l = 20 м;
v = 900 км/час = 900/3,6 = 250 м/с;
U = 0,06 В;
Определить
Н
v

l
Е
U
+

Решение
Рассмотрим движение металлического стержня со скоростью, перпендикулярной длине стержня и линиям напряжённости магнитного поля (физическая модель задачи)

При движении стержня свободные электроны, пересекая линии магнитного поля, испытывают действие силы Лоренца, и при этом смещаются, создавая внутри стержня электрическое поле.
При равновесии сила Лоренца уравновешивается силой электрического поля и на концах стержня возникает разность потенциалов.
На рисунке показан схематически это явление.
— скорость движения стержня,
— вертикальная составляющая напряжённости магнитного поля Земли (в северном полушарии она направлена вниз),
— вектор силы Лоренца (направление определено по правилу левой руки с учётом отрицательного знака заряда электрона),
— вектор напряжённости электрического поля,
— разность потенциалов концов стержня,
Записываем условие равновесия сил () и выражаем напряжённость электрического поля Е.

(1)
В – индукция магнитного поля.

Далее используем интегральную связь между разностью потенциалов и напряжённостью
(2)

Для определения напряжённости используем формулу её связи с индукцией магнитного поля:
В = μ0μН (3)
μ0 = 1,26∙10-6 Гн/м – магнитная постоянная
μ – относительная магнитная проницаемость вещества
(в данном случае μ = 1 , воздух)
Подставляем (3) в (2) и выражаем искомую величину

(4)
Проверка размерности

Вычисление
А/м
Ответ:
вертикальная составляющая магнитного поля Земли в данном месте равна А/м

73. Чему равна объемная плотность энергии магнитного поля в соленоиде без сердечника, имеющего плотную однослойную намотку проводом диаметром 0,1 мм, если по нему течет ток величиной 0,2 А?
Дано:
d = 0.1 мм = 10-4 м;
I = 0,2 А;
Найти .
Решение
Объёмная плотность ω энергии магнитного поля при известной напряжённости Н определяется формулой
(1)
В этой формуле:
μ – относительная магнитная проницаемость среды (в данном случае сердечник отсутствует и μ = 1)
μ0 = 1,26∙10-6 Гн/м – магнитная постоянная;
Напряжённость магнитного поля в соленоиде выражается формулой
(2)
I – сила тока, n – число витков на единицу длины, d – диаметр провода.
При плотной однослойной намотке , что отражено в (2)
Подставляем (2) в (1) и получаем окончательно
(3)
Проверка размерности

Вычисление
Дж/м3

Ответ: объёмная плотность энергии магнитного поля Дж/м3

83. Под действием груза массой 200 г пружина растягивается на 1,86 см. Грузу сообщили кинетическую энергию 0,02 Дж и он стал совершать гармонические колебания. Определить частоту и амплитуду колебаний.
Дано:
m = 200 г = 0.2 кг;
δ = 1,86 см = 1,86∙10-2 м;
Ек0 = 0,02 Дж;
Определить
Решение
-5143524130 Условие начального равновесного состояния колебательной системы позволяет определить коэффициент упругости (жёсткость) пружины k.
Приравниваем силу упругости (по закону Гука) и силу тяжести и выражаем k. (1)
Здесь: g –ускорение силы тяжести, δ – начальное растяжение пружины,
m – масса тела.
Частота колебаний груза массой m, под действием упругой силы выражается формулой:
(2)
Подставим в (2) выражение для k из (1) и вычислим частоту

Гц

В начальный момент грузу сообщили некоторую кинетическую энергию. Согласно закону сохранения и превращения энергии, в момент максимального сжатия пружины (смещение равно амплитуде А колебаний) эта энергия полностью переходит в потенциальную.
Таким образом

Проверка размерности

Вычисление
м = 1,95 см
Ответ:
частота колебаний Гц
амплитуда А = 1,95 см

93. Уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся в среде с , имеет вид . Определить диэлектрическую проницаемость среды и длину волны.
Дано:
В/м
Определить .
Решение
Общий вид уравнения гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси х:

В этом уравнении:
u(x,t) – значение волнового возмущения (колебания) в момент t в точке с координатой х (в данном случае u(x,t) = Е(x,t) – напряжённости электрического поля)
А – амплитуда (макс. значение) волнового возмущения;
ω – угловая частота колебаний источника волн;
ω = 2πf = 2π/T;
f – частота колебаний;
Т – период колебаний:
k – волновое число, k = 2π/λ;
λ – длина волны;
φ0 – начальная фаза источника колебаний (в данном случае φ0 =0)
Сравнивая уравнение, заданное в условии, с общим, делаем вывод, что для данной волны: k = 4,19 м-1, ω = 6,28∙108 с-1.
Определяем длину волны в среде

м
Определяем скорость распространения волны в среде
м/с
Из теории распространения электромагнитных волн следует, что скорость распространения волны в среде меньше в раз, чем в вакууме.
ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды,
μ — относительная магнитная проницаемость среды (μ = 1, задано)
Определяем

Ответ: м

Литература
Т. И Трофимова. Курс физики: Учебное пособие. М.: Академия,, 2008
Т.И Трофимова. Сборник задач по курсу физики с решениями М.: Высшая школа. 2008
А.А. Детлаф Курс физики. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2000

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

14 + пять =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector