Блок I 3 8 Имеются следующие данные об успеваемости 30 студентов группы по теории статистики в летнюю сессию 2003 г

Блок I

3.8. Имеются следующие данные об успеваемости 30 студентов группы по теории статистики в летнюю сессию 2003 г.:
5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3
Постройте:
а) ряд распределения студентов по оценкам, полученным в сессию, и изобразите его графически;
б) ряд распределения студентов по уровню успеваемости, выделив в нем две группы студентов: неуспевающих (2 балла), успевающих (3 балла и выше);
в) укажите, каким видом ряда распределения (вариационным или атрибутивным) является каждый из этих двух рядов.

Решение:
а) Построим ряд распределения студентов по баллам оценок, полученных в сессию:

Оценка, xi 2 3 4 5 Итого
Частота, fi
4 8 11 7 30

б) Построим ряд распределения студентов по уровню успеваемости, выделив в нем две группы студентов: неуспевающие (2 балла), успевающие (3 балла и выше):

Группа успеваемости Неуспевающие Успевающие Итого
Частота, fi
4 26 30

в) Ряд распределения студентов по баллам является вариационным, распределение по уровню успеваемости – атрибутивным.

3.10. Известны следующие данные по основным показателям деятельности крупнейших банков одной из областей Российской Федерации (данные условные):

(млн. руб.)
№ п/п
Сумма активов Собственный капитал Привлеченные ресурсы Балансовая прибыль Объем вложений в государственные ценные бумаги Ссудная задолжен-ность
1 645,6 12,0 27,1 8,1 3,5 30,8
2 636,9 70,4 56,3 9,5 12,6 25,7
3 629,0 41,0 95,7 38,4 13,3 26,4
4 619,6 120,8 44,8 38,4 4,4 25,3
5 616,4 49,4 108,7 13,4 15,0 20,9
6 614,4 50,3 107,1 30,1 19,1 47,3
7 608,6 70,0 76,1 37,8 19,2 43,7
8 601,1 52,4 26,3 41,1 3,7 29,1
9 600,2 42,0 46,0 9,3 5,2 56,1
10 600,0 27,3 24,4 39,3 13,1 24,9
11 592,9 72,0 65,5 8,6 16,7 39,6
12 591,7 22,4 76,0 40,5 7,5 59,6
13 585,5 39,3 106,9 45,3 6,7 44,9
14 578,6 70,0 89,5 8,4 11,2 32,2
15 577,5 22,9 84,0 12,8 19,3 45,1
16 553,7 119,3 89,4 44,7 19,4 24,5
17 543,6 49,6 93,8 8,8 5,7 31,1
18 542,0 88,6 26,7 32,2 7,8 37,1
19 517,0 43,7 108,1 20,3 8,3 23,1
20 516,7 90,5 25,2 12,2 9,7 15,8

1. Постройте группировку коммерческих банков по величине собственного капитала, выделив четыре группы с равными интервалами. Рассчитайте по каждой группе сумму активов, собственный капитал, привлеченные ресурсы, балансовую прибыль. Результаты группировки представьте в табличной форме и сформулируйте выводы.
2. Постройте полигон и гистограмму распределения банков по величине собственного капитала.

Решение:
1. Произведем группировку банков по величине собственного капитала.
Величина равного интервала определяется по следующей формуле:
h=Rn,
где R – размах вариации; n – число групп.
R=Xmax-Xmin,
где Xmax – максимальное значение признака в совокупности;
Xmin – минимальное значение признака в совокупности.
Xmax=120,8 млн.руб.,Xmin=12,0 млн.руб.
R=120,8-12,0=108,8 млн.руб..
Определим интервал группировки
h=108,84=27,2 млн.руб..
Получили шаг интервала равный 27,2 млн. руб.
Следовательно, первый интервал имеет границы от 12,0 до 39,2 млн. руб., второй – от 39,2 до 66,4 млн. руб., третий – от 66,4 до 93,6 млн. руб., четвертый – от 93,6 до 120,8 млн. руб.
Произведем распределение банков по полученным интервалам. (Таблица 3.1)

Таблица 3.1
Вспомогательная таблица
№ п/п
Группы банков по величине собственного капитала № п/п
Сумма активов Собственный капитал Привлеченные ресурсы Балансовая прибыль
1 12,0-39,2 1 645,6 12,0 27,1 8,1

10 600,0 27,3 24,4 39,3

12 591,7 22,4 76,0 40,5

15 577,5 22,9 84,0 12,8
Итого по группе 4 2414,8 84,6 211,5 100,7
2 39,2-66,4 3 629,0 41,0 95,7 38,4

5 616,4 49,4 108,7 13,4

6 614,4 50,3 107,1 30,1

8 601,1 52,4 26,3 41,1

9 600,2 42,0 46,0 9,3

13 585,5 39,3 106,9 45,3

17 543,6 49,6 93,8 8,8

19 517,0 43,7 108,1 20,3
Итого по группе 8 4707,2 367,7 692,6 206,7
3 66,4-93,6 2 636,9 70,4 56,3 9,5

7 608,6 70,0 76,1 37,8

11 592,9 72,0 65,5 8,6

14 578,6 70,0 89,5 8,4

18 542,0 88,6 26,7 32,2

20 516,7 90,5 25,2 12,2
Итого по группе 6 3475,7 461,5 339,3 108,7
4 93,6-120,8 4 619,6 120,8 44,8 38,4

16 553,7 119,3 89,4 44,7
Итого по группе 2 1173,3 240,1 134,2 83,1
Всего 20 11771,0 1153,9 1377,6 499,2
Теперь составим групповую таблицу. (Таблица 3.2)

Таблица 3.2
Группировка коммерческих банков по величине собственного капитала (всего и в расчете на один банк)
№ п/п
Группы банков по величине собственного капитала Число банков Сумма активов Собственный капитал Привлеченные ресурсы Балансовая прибыль
1 12,0-39,2 4 2414,8 603,7 84,6 21,15 211,5 52,875 100,7 25,175
2 39,2-66,4 8 4707,2 588,4 367,7 45,9625 692,6 86,575 206,7 25,8375
3 66,4-93,6 6 3475,7 579,283 461,5 76,9167 339,3 56,55 108,7 18,1167
4 93,6-120,8 2 1173,3 586,65 240,1 120,05 134,2 67,1 83,1 41,55
Всего 20 11771 588,55 1153,9 57,695 1377,6 68,88 499,2 24,96

Как видим, что сумма активов, привлеченные ресурсы и балансовая прибыль не зависят от собственного капитала.

3.18. Имеются следующие данные о распределении промышленных предприятий двух регионов по численности занятого на них промышленно-производственного персонала (ППП):

Регион 1 Регион 2
группы предприятий по численности работающих, чел. число предприятий, % численность промышленно-производственного персонала, тыс. чел. группы предприятий по численности работающих, чел. число предприятий, % численность промышленно-производственного персонала, тыс. чел.
до 100 32 1 до 300 34 1
101-500 38 4 301-600 28 6
501-1000 17 10 601-1000 20 10
1001-2000 9 15 1001-2000 13 15
2001-5000 3 32 2001-4000 4 43
5001 и более 1 38 4001 и более 1 25
Итого 100 100 Итого 100 100

Постройте вторичную группировку данных о распределении промышленных предприятий, пересчитав данные:
а) региона 2 в соответствии с группировкой региона 1;
б) региона 1 в соответствии с группировкой региона 2;
в) регионов 1 и 2, образовав следующие группы промышленных предприятий по численности ППП: до 500, 500-1000,1000-2000, 2000-3000, 3000-4000,4000-5000,5000 и более.

Решение:
а) Построим вторичную группировку данных о распределении промышленных предприятий, пересчитав данные региона 2 в соответствии с группировкой региона 1.
1-ю группу (до 300) необходимо разделить на две группы: предприятия, в которых численность работающих до 100 чел., должны образовать 1-ю группу (до 100); предприятия, в которых численность работающих 101-200 и 201-300 тыс. руб., войдут во 2-ю группу (101-500). При разбивке предприятий по группам полагаем, что их распределение внутри группы до 300 равномерное.
13∙34=11,3%, 23∙34=22,7%.
2-ю группу (301-600) необходимо разделить на две группы: предприятия, в которых численность работающих 301-400, 401-500 чел., должны войти во 2-ю группу (101-500); предприятия, в которых численность работающих 501-600 чел., войдут в 3-ю группу (501-1 000).
23∙28=18,7%, 13∙28=9,3%.
3-ю группу (601-1 000) разбивать не надо. Она полностью входит в 3-ю группу (501-1 000) – 20%.
4-ю группу (1 001-2 000) разбивать не надо. Она полностью входит в 4-ю группу (1 001-2 000) – 13%.
5-ю группу (2 001-4 000) разбивать не надо. Она полностью входит в 5-ю группу (2 001-5 000) – 4%.
6-ю группу (4 001 и более) необходимо разделить на две группы: предприятия, в которых численность работающих 4 001-5 000 чел., должны войти во 5-ю группу (2 001-5 000); предприятия, в которых численность работающих 5 001-6 000, войдут в 6-ю группу (5 001 и более).
12∙1=0,5%, 12∙1=0,5%.

Аналогично производим расчет численности промышленно-производственного персонала.

Таким образом, получаем следующую группировку банков региона 2:

Регион 2
группы предприятий по численности работающих, чел. число предприятий, % численность промышленно-производственного персонала, тыс. чел.
до 100 11,3 0,3
101-500 41,4 4,7
501-1000 29,3 12
1001-2000 13 15
2001-5000 4,5 55,5
5001 и более 0,5 12,5
Итого 100 100

б) Построим вторичную группировку данных о распределении промышленных предприятий, пересчитав данные региона 1 в соответствии с группировкой региона 2:

Регион 1
группы предприятий по численности работающих, чел. число предприятий, % численность промышленно-производственного персонала, тыс. чел.
до 300 51 3
301-600 22,4 4
601-1000 13,6 8
1001-2000 9 15
2001-4000 2 21,3
4001 и более 2 48,7
Итого 100 100

в) Построим вторичную группировку данных о распределении промышленных предприятий, пересчитав данные регионов 1 и 2, образовав следующие группы промышленных предприятий по численности ППП: до 500, 500-1000,1000-2000, 2000-3000, 3000-4000,4000-5000,5000 и более.

Регион 1 Регион 2
группы предприятий по численности работающих, чел. число предприятий, % численность промышленно-производственного персонала, тыс. чел. группы предприятий по численности работающих, чел. число предприятий, % численность промышленно-производственного персонала, тыс. чел.
до 500 70 5 до 500 52,7 5
500-1 000 17 10 500-1 000 29,3 12
1 000-2 000 9 15 1 000-2 000 13 15
2 000-3 000 1 10,7 2 000-3 000 2 21,5
3 000-4 000 1 10,7 3 000-4 000 2 21,5
4 000-5 000 1 10,7 4 000-5 000 0,5 12,5
5 000 и более 1 38 5 000 и более 0,5 12,5
Итого 100 100 Итого 100 100

Блок II

6.2. Имеются следующие данные о производстве бумаги в РФ:

1998 1999 2000 2001
Произведено бумаги, тыс. т 2 453 2 968 3 326 3 415

Вычислите относительные показатели динамики. Проверьте их взаимосвязь.

Решение:
Рассчитаем относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения:

Переменная база сравнения
(цепные показатели) Постоянная база сравнения (базисные показатели)
29682453∙100=121,0
29682453∙100=121,0
33262968∙100=112,1
33262453∙100=135,6
34153326∙100=102,7
34152453∙100=139,2

Относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения взаимосвязаны между собой следующим образом: произведение всех относительных показателей с переменной базой равно относительному показателю с постоянной базой за исследуемый период. Так для рассматриваемых показателей получим:
1,210∙1,121∙1,027=1,392 или 139,2%.

6.6. Торговая фирма планировала в 2002 г. по сравнению с 2001 г. увеличить оборот на 14,5%. Выполнение установленного плана составило 102,7%. Определите относительный показатель динамики оборота.

Решение:
Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:
ОПП∙ОПРП=ОПД.
ОПД=1,145∙1,027=1,176 или 117,6%.
В 2002 г. по сравнению с 2001 г. оборот увеличился на 17,6%.

6.9. Предприятие планировало увеличить выпуск продукции в 2002 г. по сравнению с 2001 г. на 18%. Фактический же объем продукции составил 112,3% от прошлогоднего уровня. Определите относительный показатель реализации плана.

Решение:
Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:
ОПП∙ОПРП=ОПД.
ОПРП=ОПДОПП=1,1231,180=0,952 или 95,2%.
План реализации продукции недовыполнен на 4,8%.

6.11. Имеются следующие данные о внешнеторговом обороте России со странами вне СНГ:
(млрд. долл. США)

2000 2001
Экспорт 91,3 87,7
Импорт 31,5 40,3

Вычислите относительные показатели структуры и координации.
Решение:
Относительный показатель структуры представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

ОПС=Показатель, характеризующий часть совокупностиПоказатель по всей совокупности в целом.

2000 2001

млрд. долл. США % к итогу млрд. долл. США % к итогу
Экспорт 91,3 74,3 87,7 68,5
Импорт 31,5 25,7 40,3 31,5
Итого 122,8 100,0 128,0 100,0

Относительный показатель координации представляет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности:

ОПК=Показатель, характеризующий i-ую часть совокупностиПоказатель, характеризующий часть совокупности, выбранную в качестве базы сравнения.

В качестве базы сравнения выбираем экспорт, так как он имеет наибольший удельный вес.

2000 2001

млрд. долл. США % к итогу млрд. долл. США % к итогу
Экспорт 91,3 74,3 87,7 68,5
Импорт 31,5 25,7 40,3 31,5
Итого 122,8 100,0 128,0 100,0
ОПК – 0,345 – 0,460

Таким образом, на каждый млрд. долл. США экспорта приходится 0,345 млрд. долл. США импорта в 2000 г. и 0,460 млрд. долл. США импорта в 2001 г.

6.22. Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду имеет следующий вид:

Тарифный разряд 1 2 3 4 5 6
Число рабочих, чел. 2 3 26 74 18 4

Определите средний уровень квалификации рабочих предприятия.
Решение:
Средний уровень квалификации рабочих предприятия определим по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xififi,
где xi – тарифный разряд; fi – число рабочих.
x=1∙2+2∙3+3∙26+4∙74+5∙18+6∙42+3+26+74+18+4=496127=3,9≈4.
Средний уровень квалификации рабочих предприятия – 4 тарифный разряд.

6.23. Результаты торговой сессии по акциям АО «ЛУКойл» характеризуются следующими данными:

Торговая площадка Средний курс акций, руб. Объем продаж, шт.
Российская торговая система 446 138 626
Московская межбанковская валютная биржа 449 175 535
Московская фондовая биржа 455 200

Рассчитайте средний курс акции по всем трем площадкам вместе взятым.

Решение:
Средний курс акции по всем трем площадкам вместе взятым определим по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xififi,
где xi – курс акций;
fi – объем продаж.
x=446∙138626+449∙175535+455∙200138626+175535+200=
=61827196+78815215+91000314361=140733411314361=447,68 (руб.).
Средний курс акции по всем трем площадкам вместе взятым составляет 447,68 руб.

6.24. Имеются следующие данные о реализации одного товара на трех рынках города:

Рынок I квартал II квартал

цена за 1 кг, руб. продано, т цена за 1 кг, руб. реализовано на сумму, тыс. руб.
1 85 24 95 1 900
2 75 37 80 2 800
3 80 29 90 2 070

Определите среднюю цену данного товара за I и II кварталы и за полугодие.
Решение:
Среднюю цену данного товара за I квартал определим по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xififi,
где xi – цена за 1 кг;
fi – объем продаж, т.
xI=85∙24+75∙37+80∙2924+37+29=713590=79,28 (руб.).
Средняя цена данного товара за I квартал составила 79,28 руб.

Среднюю цену данного товара за II квартал определим по формуле средней гармонической взвешенной:
x=wiwixi,
где wi – объем реализации, тыс. руб.
xII=1900+2800+2070190095+280080+207090=677020+35+23=677078=86,79 (руб.).
Средняя цена данного товара за II квартал составила 86,79.

Среднюю цену за полугодие определим по формуле простой средней арифметической:
x=xI+xII2.
x=79,28+86,792=166,072=83,04 (руб.).
Средняя цена за полугодие составила 83,04 руб.

6.26. Имеются следующие данные о ценах на предлагаемое к продаже жилье в одном из городов.

Цена 1 м2, долл. США Общая площадь, тыс. м2
300-400 29,4
400-500 20,5
500-600 7,3
600-700 7,0
700-800 4,0

Рассчитайте среднюю цену 1 м2 жилья.
Решение:
Среднюю цену 1 м2 жилья определим по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xififi,
где xi – середина ценового интервала;
fi – общая площадь.
x=350∙29,4+450∙20,5+550∙7,3+650∙7,0+750∙4,029,4+20,5+7,3+7,0+4,0=
=3108068,2=455,72 (долл.США).
Средняя цена 1 м2 жилья составила 455,72 долл. США.

6.30. Производственная деятельность одного из отделений корпорации за месяц характеризуется следующими данными:

Предприятие Общие затраты на производство, тыс. руб. Затраты на 1 руб. произведенной продукции, коп.
1 2 323,4 75
2 8 215,9 71
3 4 420,6 73
4 3 525,3 78

Определите средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по отделению.

Решение:
Средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по отделению определим по формуле средней гармонической взвешенной:
x=wiwixi,
где wi – общие затраты на производство;
xi – затраты на 1 руб. произведенной продукции.
x=2323,4+8215,9+4420,6+3525,32323,475+8215,971+4420,673+3525,378=18485,2252,4=73 (коп.).
Средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по отделению составили 73 коп.

6.32. Качество продукции предприятия характеризуется следующими данными (за месяц):

Вид продукции Процент брака Стоимость бракованной продукции, руб.
А 1,3 2 135
В 0,9 3 560
С 2,4 980

Определите средний процент брака по предприятию.

Решение:
Средний процент брака по предприятию определим по формуле средней гармонической взвешенной:
x=wiwixi,
где wi – стоимость бракованной продукции;
xi – процент брака.
x=2135+3560+98021351,3+35600,9+9802,4=66756006,2=1,1%.
Средний процент брака по предприятию составил 1,1%.

Блок III

7.4. По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов получено следующее распределение оценок по баллам:

Балл оценки знаний студентов 2 3 4 5 Итого
Число оценок, полученных студентами 6 75 120 99 300

Определите:
а) средний балл оценки знаний студентов;
б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;
в) сделайте вывод о характере данного распределения.

Решение:
а) Средний балл оценки знаний студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xififi,
где xi – балл оценки знаний; fi – число оценок, полученных студентами.
x=2∙6+3∙75+4∙120+5∙99300=1212300=4,04≈4 балла.

б) Мода – значение признака, наиболее часто встречающаяся в исследуемой совокупности. Следовательно, модальный балл успеваемости:
Мо=4 балла.
Медиану определим по накопленной частоте. (Таблица 7.1)

Таблица 7.1
Балл оценки знаний студентов, xi
2 3 4 5 Итого
Число оценок, полученных студентами, fi
6 75 120 99 300
Накопленная частота, Si 6 81 201 300 –

Так как совокупность состоит из 300 вариант, то медиана имеет номер
N=n+12=300+12=3012=150,1.
Согласно полученным накопленным частотам значение медианы
Ме=4 балла.

в) Средний балл оценки знаний студентов составил 4 балла. Модальный балл успеваемости и медианное значение балла также равны 4 баллам. Таким образом, половина (50%) студентов получили менее 4 баллов, а другая половина – более 4 баллов.

7.6. Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характеризуется следующими данными:

Товарооборот, млн. руб. До 5 5-10 10-15 15-20 20-25 25 и более Итого
Число фирм 20 26 20 14 10 10 100

Определите:
а) средний размер месячного товарооборота на одну фирму;
б) модальное и медианное значение месячного товарооборота;
в) сделайте вывод о характере данного распределения.

Решение:
а) Определим середины интервалов товарооборота. (Таблица 7.2)

Таблица 7.2
Товарооборот, млн. руб., xi До 5 5-10 10-15 15-20 20-25 25 и более Итого
Число фирм, fi
20 26 20 14 10 10 100
Середина интервала, xi’
2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 –
xi’fi
50 195 250 245 225 275 1 240
Накопленная частота, Si 20 46 66 80 90 100 –

Средний размер месячного товарооборота на одну фирму определим по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xi’fifi,
где xi’ – товарооборот (середина интервала), млн. руб.;
fi – число фирм.
x=1240100=12,4 млн. руб..

б) Модальный интервал в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте, а мода по формуле:

Mo=x0+i∙fMo-fMo-1fMo-fMo-1+fMo-fMo+1,
где x0 – нижняя граница модального интервала;
i – величина модального интервала;
fMo, fMo-1, fMo+1 – частоты модального, предмодального и постмодального интервалов.
Интервал 5-10 является модальным.
Нижняя граница модального интервала равна x0=5. Величина модального интервала равна i=5. Частота модального интервала равна fMo=26. Частота предмодального интервала равна fMo-1=20. Частота интервала, следующего за модальным, равна fMo+1=20.
Определим моду:
Mo=5+5∙26-2026-20+26-20=5+2,5=7,5 (млн.руб.).

Медиана в интервальному ряду распределения определяется по формуле

Me=x0+i∙12fi-SMe-1fMe,
где x0 – нижняя граница медианного интервала;
i – величина медианного интервала;
SMe-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
fMe – частота медианного интервала.
Медиана находится в интервале 10-15 млн. руб. (Таблица 7.2) Тогда:
Me=10+5∙12∙100-4620=10+5∙420=10+1=11,0 (млн.руб.).

в) Средний размер месячного товарооборота на одну фирму составил 12,4 млн. руб. Модальное значение месячного товарооборота равно 7,5 млн. руб., следовательно, в рассматриваемой совокупности наибольшее число фирм имеют товарооборот размером 7,5 млн. руб. Медианное значение размера товарооборота составило 11,0 млн. руб. Таким образом, 50% фирм имеют товарооборот размером менее 11,0 млн. руб., а 50% – более 11,0 млн. руб.

7.11. Распределение подростковой преступности по одной из областей РФ за 1-е полугодие 2003 г.:

Возраст правонарушителей, лет 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Итого
Количество правонарушений 7 12 13 12 15 24 29 36 42 30 220

Определите показатели вариации:
а) размах;
б) среднее линейное отклонение;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации.

Решение:
а) Размах определим по формуле
R=Xmax-Xmin,
где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значения признака.
Xmax=16 лет,Xmin=7 лет.
R=16-7=11 лет.

б) Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая взвешенная из абсолютных значений отклонений вариант хi и x:
d=xi-xfifi.
Расчет среднего возраста правонарушителей произведем по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xififi.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.3.
x=2826220=12,8 (лет).
d=462,3220=2,1 года.
Среднее отклонение вариантов признака от их средней величины равно 2,1 года. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое. Оно отличается от средней на 10,7 года. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака однородна, а средняя – типична.
Таблица 7.3
Возраст правонарушителей, х, лет Количество правонарушений, fi
xifi
xi-x
xi-xfi
xi-x2
xi-x2fi
7 7 49 5,8 40,9 34,17 239,2
8 12 96 4,8 58,1 23,48 281,7
9 13 117 3,8 50,0 14,79 192,2
10 12 120 2,8 34,1 8,10 97,2
11 15 165 1,8 27,7 3,41 51,1
12 24 288 0,8 20,3 0,71 17,2
13 29 377 0,2 4,5 0,02 0,7
14 36 504 1,2 41,6 1,33 48,0
15 42 630 2,2 90,5 4,64 195,0
16 30 480 3,2 94,6 9,95 298,5
Итого 220 2826 – 462,3 – 1420,7

в) Для определения среднего квадратического отклонения найдем дисперсию.
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:
σ2=xi-x2fifi.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.3.
σ2=1420,7220=6,5.
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
σ=6,5=2,5 (года).
Таким образом, каждое индивидуальное значение возраста правонарушителей отклоняется от их средней величины на 2,5 года.

г) Коэффициент вариации определяется по формуле
Vσ=σx∙100.
Коэффициент вариации будет равен
Vσ=2,512,8∙100=0,198∙100=19,8%.
Так как рассчитанный коэффициент вариации менее 33%, то совокупность правонарушителей по возрасту однородна по своему составу.

7.13. Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными:

Длина пробега за один рейс, км
30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80 и выше Итого
Число рейсов за 1 месяц 20 25 14 18 8 5 90

Определите:
а) среднюю длину пробега;
б) среднее квадратическое отклонение;
в) коэффициент вариации.
Оцените количественную однородность совокупности.

Решение:
а) Расчет средней длины пробега произведем по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xi’fifi,
где xi’ – длина пробега за один рейс (середина интервала), км.;
fi – число рейсов за 1 месяц.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.4.

Таблица 7.4
Длина пробега за один рейс, км, х, Число рейсов за 1 месяц, fi
xi’
xi’fi
xi’-x
xi’-x2
xi’-x2fi
30-40 20 35 700 -18,222 332,049 6 640,988
40-50 25 45 1 125 -8,222 67,605 1 690,123
50-60 14 55 770 1,778 3,160 44,247
60-70 18 65 1 170 11,778 138,716 2 496,889
70-80 8 75 600 21,778 474,272 3 794,173
80 и выше 5 85 425 31,778 1 009,827 5 049,136
Итого 90 – 4 790 – – 19 715,556

x=479090=53,222 (км).
Средняя длина пробега за один рейс составляет 53,222 км.

б) Для определения среднего квадратического отклонения найдем дисперсию.
σ2=xi-x2fifi.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.4.
σ2=19715,55690=219,062.
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
σ=xi-x2fifi.
Извлечем корень квадратный из дисперсии и получим величину среднего квадратического отклонения:
σ=219,062=14,801 (км).
Таким образом, каждое индивидуальное значение длины пробега за один рейс отклоняется от их средней величины на 14,801 км.

в) Коэффициент вариации определяется по формуле
Vσ=σx∙100.
Коэффициент вариации будет равен
Vσ=14,80153,222∙100=0,278∙100=27,8%.
Так как рассчитанный коэффициент вариации менее 33%, то рассматриваемая совокупность по длине пробега за один рейс однородна по своему составу.

7.21. Дисперсия признака равна 10, средний квадрат его индивидуальных значений – 140. Чему равна средняя?

Решение:
Дисперсия может быть вычислена по формуле
σ2=x2-x2,
откуда можем найти среднюю:
x=x2-σ2.
Получаем
x=140-10=130=11,4.
Средняя равна 11,4.

7.31. Распределение строительных фирм по объему инвестиций характеризуется следующими данными:

Объем инвестиций, млн. руб. 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Итого
Число фирм 4 6 32 34 27 10 7 120

Определите характеристики распределения:
а) среднюю;
б) моду;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации и асимметрии.
Сделайте выводы о характере распределения строительных фирм.

Решение:
а) Расчет средней произведем по формуле средней арифметической взвешенной:
x=xi’fifi,
где xi’ – объем инвестиций (середина интервала), млн. руб.;
fi – число фирм.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.5.

Таблица 7.5
Объем инвестиций, млн. руб., х, Число фирм, fi
xi’
xi’fi
xi’-x
xi’-x2fi
xi’-x3fi
6-8 4 7 28 -6,2 153,76 -953,312
8-10 6 9 54 -4,2 105,84 -444,528
10-12 32 11 352 -2,2 154,88 -340,736
12-14 34 13 442 -0,2 1,36 -0,272
14-16 27 15 405 1,8 87,48 157,464
16-18 10 17 170 3,8 144,4 548,720
18-20 7 19 133 5,8 235,48 1 365,784
Итого 120 – 1 584 – 883,20 333,120

x=1584120=13,2 (млн.руб.).
Средний объем инвестиций составляет 13,2 млн. руб.

б) Модальный интервал в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте, а мода по формуле:
Mo=x0+i∙fMo-fMo-1fMo-fMo-1+fMo-fMo+1,
где x0 – нижняя граница модального интервала;
i – величина модального интервала;
fMo, fMo-1, fMo+1 – частоты модального, предмодального и постмодального интервалов.
Интервал 12-14 является модальным.
Нижняя граница модального интервала равна x0=12. Величина модального интервала равна i=2. Частота модального интервала равна fMo=34. Частота предмодального интервала равна fMo-1=32. Частота интервала, следующего за модальным, равна fMo+1=27.
Определим моду:
Mo=12+2∙34-3234-32+34-27=12+2∙22+7=12,4 (млн.руб.).
В рассматриваемой совокупности наибольшее число фирм имеют инвестиции размером 12,4 млн. руб.

в) Для определения среднего квадратического отклонения найдем дисперсию.
σ2=xi-x2fifi.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.5.
σ2=883,20120=7,36.
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
σ=xi-x2fifi.
Извлечем корень квадратный из дисперсии и получим величину среднего квадратического отклонения:
σ=7,36=2,7 (млн.руб.).
Таким образом, каждое индивидуальное значение объема инвестиций отклоняется от их средней величины на 2,7 млн. руб.

г) Коэффициент вариации определяется по формуле
Vσ=σx∙100.
Коэффициент вариации будет равен
Vσ=2,713,2∙100=0,206∙100=20,6%.
Так как рассчитанный коэффициент вариации менее 33%, то рассматриваемая совокупность по объему инвестиций однородна по своему составу.

Определим коэффициент асимметрии:
As=μ3σ3,
где μ3 – центральный момент третьего порядка.
μ3=xi-x3fifi.
Вспомогательные вычисления представлены в таблице 7.5.
μ3=333,120120=2,776.
Коэффициент асимметрии равен
As=2,7762,73=2,77619,683=0,141.
Так как As>0, то наблюдается правосторонняя скошенность распределения (более длинная ветвь вправо).

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

2 + 11 =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector