m=3 n=3 13 Математическая статистика 13 1 Численная обработка данных одномерной выборки

m=3, n=3
13. Математическая статистика.
13.1. Численная обработка данных одномерной выборки.
Выборка Х объемом N=100 измерений задана таблицей:
xi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
mxi 5 13 26 24 19 10 3

где xi — результаты измерений, mxi – частоты, с которыми встречаются значения xi,
, .
13.1.1. Построить полигон относительных частот Wi=mx/N.
13.1.2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию Dx среднее квадратическое отклонение σх.
13.1.3. По критерию Х2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
Примечание. Для расчетов и Dx рекомендуется перейти к условным значениям и, взяв за ложный нуль сх значение с наибольшей частотой, использовать суммы и .
Решение:
13.1.1
xi 0,6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 6 Сумма
mxi 5 13 26 24 19 10 3 N=100
Wi=mx/N 0,05 0,13 0,26 0,24 0,19 0,1 0,03 1

Рис. 1. Полигон относительных частот
13.1.2
сх = 2,4
xi 0,6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 6 Сумма
mxi 5 13 26 24 19 10 3 N=100
-2 -1 0 1 2 3 4
-10 -13 0 24 38 30 12 =81
20 13 0 24 76 90 48 =271

13.1.3. По критерию Х2 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:
n = 100, h=0,9, σ = 1,29,

i
xi mi ui= φi

1 0,6 5 -1,96 0,0573 4 0,25
2 1,5 13 -1,26 0,1781 12,43 0,0264
3 2,4 26 -0,57 0,3391 23,66 0,23
4 3,3 24 0,13 0,3951 27,57 0,46
5 4,2 19 0,83 0,2803 19,56 0,0159
6 5,1 10 1,53 0,1238 8,64 0,21
7 6 3 2,23 0,0332 2,32 0,2
Сумма
100

100 1,4

Kkp = χ2(k-r-1;α)= χ2(7-2-1;0,05)=11,14

Поскольку К < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

13.2. Построение уравнения линейной регрессии.
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объемом N=100 измерений задана корреляционной таблицей:

y1 y2 y3 y4 y5 mxi
x1 2 3 – – – 5
x2 3 8 2 – – 13
x3 – 11 15 – – 26
x4 – – 13 11 – 24
x5 – – 9 10 – 19
x6 – – 3 6 1 10
x7 – – – 1 2 3
myj
5 22 42 28 3 N=100
где ,
13.2.1. Найти и σу для выборки
уj
y1 y2 y3 y4 y5
myj
5 22 41 28 3
(Расчеты и σу можно провести аналогично расчетам и σх.в задаче 13.1.2.)
13.2.2. Построить уравнение линейной регрессии Y на X в виде . и σх следует взять из решения задачи 13.1.2.
13.2.3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки () и построить прямую .
Примечание. Уравнение регрессии сначала рекомендуется найти в виде , где rxy – выборочный коэффициент корреляции.
Решение:
13.2.1 cy = 2,7
уj
1,5 2,1 2,7 3,3 3,9 Сумма
myj
5 22 42 28 3 N=100
-2 -1 0 1 2
-10 -22 0 28 6 =44
20 22 0 28 12 =220

13.2.2. Построим уравнение линейной регрессии Y на X в виде
,
где rxy – выборочный коэффициент корреляции.
Ковариация:
Cov(x,y) = (0,6*1,5*2 + 1,5*1,5*3 + 0,6*2,1*3 + 1,5*2,1*8 + 2,4*2,1*11 + 1,5*2,7*2 + 2,4*2,7*15 + 3,3*2,7*13 + 4,2*2,7*9 + 5,1*2,7*3 + 3,3*3,3*11 + 4,2*3,3*10 + 5,1*3,3*6 + 6*3,3*1 + 5,1*3,9*1 + 6*3,9*2)/100 — 3,129 * 2,712 = 0,55

13.2.3. На графике изобразим корреляционное поле и построим прямую .

Рис. 2. Корреляционное поле и уравнение регрессии

14. Линейное программирование
14.1. Задача оптимального производства продукции
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, С. Потребности aij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль cj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблице:

Виды сырья Виды продукции Запасы сырья

I II
А a11=3 a12=2 b1=9+15=24
В a21=1 a22=1 b1=6+3=9
С a31=2 a32=4 b1=9+12+3+4=28
прибыль
c1=5 c2=4
план (ед.) x1 x2

14.1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 x2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее 3 единиц обоих видов продукции.
14.1.2. В условии задачи 14.1.1. составить оптимальный план (x1 , x2 ) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax. Определить остатки каждого вида сырья. Задачу решить симплексным методом.
14.1.3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим методом. Определить соответствующую прибыль Zmax.
Решение:
14.1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 x2 единиц составим целевую функцию прибыли Z:

система ограничений по запасам сырья:

Требуется изготовить в сумме не менее 3 единиц обоих видов продукции:

Условие неотрицательности переменных:

14.1.2. Симплекс метод
Приведем задачу к каноническому виду:

3×1 + 2×2 + 1×3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 24
1×1 + 1×2 + 0x3 + 1×4 + 0x5 + 0x6 = 9
2×1 + 4×2 + 0x3 + 0x4 + 1×5 + 0x6 = 28
1×1 + 1×2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1×6 = 3

Чтобы получит четвертую базисную переменную в 4-е ограничение вводим искусственную переменную:

3×1 + 2×2 + 1×3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 24
1×1 + 1×2 + 0x3 + 1×4 + 0x5 + 0x6 = 9
2×1 + 4×2 + 0x3 + 0x4 + 1×5 + 0x6 = 28
1×1 + 1×2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1×6+x7 = 3

Симплекс таблица:
Базисные переменные Свободные члены x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Отношение
x3 24 3 2 1 0 0 0 0 8
x4 9 1 1 0 1 0 0 0 9
x5 28 2 4 0 0 1 0 0 14
x7 3 1 1 0 0 0 -1 1 3
Z(X1) -3M -5-M -4-M 0 0 0 M 0 0
x3 15 0 -1 1 0 0 3 -3 5
x4 6 0 0 0 1 0 1 -1 6
x5 22 0 2 0 0 1 2 -2 11
x1 3 1 1 0 0 0 -1 1 —
Z(X2) 15 0 1 0 0 0 -5 5+M 0
x6 5 0 -1/3 1/3 0 0 1 -1 —
x4 1 0 1/3 -1/3 1 0 0 0 3
x5 12 0 22/3 -2/3 0 1 0 0 41/2
x1 8 1 2/3 1/3 0 0 0 0 12
Z(X3) 40 0 -2/3 12/3 0 0 0 M 0
x6 6 0 0 0 1 0 1 -1
x2 3 0 1 -1 3 0 0 0
x5 4 0 0 2 -8 1 0 0
x1 6 1 0 1 -2 0 0 0
Z(X4) 42 0 0 1 2 0 0 M

Оптимальный план:
(x1 , x2 )= (6 , 3)
Zmax=5*6+4*3=42
Определим остатки каждого вида сырья:
3*6 + 2*3 = 24 = 24
Остатка ресурса А нет.
1*6 + 1*3 = 9 = 9
Остатка ресурса В нет.
2*6 + 4*3 = 24 < 28
Остаток ресурса С 28-24=4 ед.

14.1.3. Построим по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найдем оптимальный план производства геометрическим методом.
4169975491520012790512891155007766052322195ОДР
00ОДР
68725022141790015436852306481N
00N
6940742439879006940741791098007008981879809006872511974702007008982091819007062812114720008369302203450001055370238442500958926232336100123998525690200013218712616788001465172274567600167767028619450023423443292352002155005312175500188142929921010025165053103245Е
00Е
251697933356550020739102428875D
00D
207391026612850014928851954530С
00С
15735302191385003460751577975В
00В
6350001715770002766512567618А
00А
63182526644600053657578740×2
00×2
42132253361055×1
00×1
30524453289935l
00l

Рис 1.
Область допустимых значений – выпуклый пятиугольник ADCDE (см рис. 1.)
Найдем оптимальное решение в допустимой области.
Построим градиент целевой функции от начала координат. Это вектор N = gradz с координатами (5,4) (рис 1.). Целью является максимума целевой функции, поэтому будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору-градиенту, по направлению вектора – градиента от 0, до тех пор, пока она не станет опорной прямой для многоугольника ограничений.
Согласно графическому построению опорная прямая l* проходит через точку D.
250952057975500Точка D – это точка пересечения прямых 1 и 4, Поэтому ее координаты найдем из системы линейных уравнений:
3×1+2×2=24
x1+x2=9
х1= 6; х2 = 3
Получим D (6, 3).
Найдем значение целевой функции в точке D:
Zmax = 5*6+4*3= 42.

14.2. Транспортная задача
На трех складах А1 , А2 и А3 хранится а1=100, а2=200 и а3=60+10n единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям В1, В2 и В3, заказы которых составляют b1=190, b2=120 и b3=10m единиц груза соответственно. Стоимость перевозок cij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых углах соответствующих клеток транспортной таблицы:

потребности
запасы В1
В2
В3

b1=190 b2=120 b3=30
A1 a1=100 4 2 3
A2 a2=200 3 5 3
A3 a3=90 1 4 6

14.2.1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность в грузе, установить , является ли модель транспортной задачи, заданной этой таблицей , открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом в случае a<b или фиктивного потребителя c потребностьюв случае a>b и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
14.2.2. Составить первоначальный план перевозок методом минимальной стоимости.
14.2.3. Проверить является ли полученный план оптимальным, если это не так, то используя метод потенциалов получить оптимальный план перевозок, обеспечивающий суммарную минимальную стоимость всех перевозок , где xij – количество единиц груза, перевозимого от i-го поставщика j-му потребителю.
Решение:
14.2.1. Сравним суммарный запас и суммарную потребность в грузе
=100+200+90=390
=190+120+30=340
Модель транспортной задачи закрытая.
Добавляем фиктивного потребителя c потребностью в случае a>b и положим соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
потребности
запасы В1
В2
В3

190 120 30 50
A1 100 4 2 3 0
A2 200 3 5 3 0
A3 90 1 4 6 0

14.2.2. Составим первоначальный план перевозок методом минимальной стоимости.
потребности
запасы В1
В2
В3

190 120 30 50
A1 100 4 2
50 3 0
50
A2 200 3
100 5
70 3
30 0
A3 90 1
90 4 6 0

14.2.3. Проверим, является ли полученный план оптимальным. Для этого с помощью базисных клеток вычислим потенциалы строк и столбцов:
u1 = 0.
v2 = 2-0=2
u2 = 5-2=3
v1 =3-3= 0
u3 = 1-0=1
v3 =3-3 0
v4 =0-0= 0
Находим оценки не заполненных клеток:
Sij = cij -( ui + vj)
S11 = 4 -(0+0)=4
S13 = 3 -(0+0)=3
S24 = 0-(3+0)=-3
S32 = 4-(1+2)=1
S33 = 6-(1+0)=5
S34 = 0-(1+0)=-1
Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален.
Вводим поставку в клетку (2,4) в размере 50 ед. груза по циклу:
2,4 → 2,2 → 1,2 → 1,4
+ → — → + → —
Новый опорный план:
потребности
запасы В1
В2
В3

190 120 30 50
A1 100 4 2
100 3 0

A2 200 3
100 5
20 3
30 0
50
A3 90 1
90 4 6 0

u1 = 0.
v2 = 2-0=2
u2 = 5-2=3
v1 = 3-3=0
u3 = 1-0=1
v3 = 3-3=0
v4 = 0-3=-3
Находим оценки не заполненных клеток:
Sij = cij -( ui + vj)
S11 = 4 -(0+0)=4
S13 = 3 -(0+0)=3
S14 = 0-(-3+0)=3
S32 = 4-(1+2)=1
S33 = 6-(1+0)=5
S34 = 0-(1-3)=2
Поскольку нет отрицательные оценки, то план оптимален.
Ответ: Оптимальный план поставки:

=2*100 + 3*100 + 5*20 + 3*30 + 0*50 + 1*90 = 780

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

17 + 16 =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector