При исследовании нового прибора сделано пятьдесят измерений величин

При исследовании нового прибора сделано пятьдесят измерений величин, точные (истинные) значения которых были известны. В таблице помещены истинные ошибки результатов измерений. Выполнить исследование на нормальный закон распределения данного ряда истинных ошибок ∆i.


п/п i
(мм) №
п/п i
(мм) №
п/п i
(мм) №
пп
i
(мм) №
п/п i
(мм)
1 +12,1 11 –2,6 21 +4,7 31 +7,9 41 +22,9
2 –1,0 12 –22,4 22 +9,1 32 +0,5 42 –8,6

4 +3,2 14 +4,9 24 –17,9 34 +0,1 44 –7,9
5 +9,1 15 –0,5 25 –18,0 35 –13,5 45 +11,9
6 –1,5 16 –8,4 26 +2,0 36 +6,4 46 +13,2
7 +0,1 17 –7,9 27 +7,7 37 +2,6 47 +17,9
8 –4,0 18 +8,7 28 –13,3 38 +15,8 48 +10,1
9 +3,8 19 –10,1 29 +6,3 39 –7,1 49 +12,4
10 +1,2 20 –4,1 30 +4,2 40 –5,7 50 –0,2

Решение.
Найдем ряд сумм, необходимых для дальнейшего исследования
Отобразим расчеты в таблице
№ ∆
∆>0
∆<0

∆2
∆3
∆4
1 12,1 12,1
12,1 146,41 1771,561 21435,89
2 -1
-1 1 1 -1 1
3 3,2 3,2
3,2 10,24 32,768 104,8576
4 9,1 9,1
9,1 82,81 753,571 6857,496
5 -1,5
-1,5 1,5 2,25 -3,375 5,0625
6 0,1 0,1
0,1 0,01 0,001 0,0001
7 -4
-4 4 16 -64 256
8 3,8 3,8
3,8 14,44 54,872 208,5136
9 1,2 1,2
1,2 1,44 1,728 2,0736
10 -2,6
-2,6 2,6 6,76 -17,576 45,6976
11 -22,4
-22,4 22,4 501,76 -11239,4 251763,1
12 4,9 4,9
4,9 24,01 117,649 576,4801
13 -0,5
-0,5 0,5 0,25 -0,125 0,0625
14 -8,4
-8,4 8,4 70,56 -592,704 4978,714
15 -7,9
-7,9 7,9 62,41 -493,039 3895,008
16 8,7 8,7
8,7 75,69 658,503 5728,976
17 -10,1
-10,1 10,1 102,01 -1030,3 10406,04
18 -4,1
-4,1 4,1 16,81 -68,921 282,5761
19 4,7 4,7
4,7 22,09 103,823 487,9681
20 9,1 9,1
9,1 82,81 753,571 6857,496
21 -17,9
-17,9 17,9 320,41 -5735,34 102662,6
22 -18
-18 18 324 -5832 104976
23 2 2
2 4 8 16
24 7,7 7,7
7,7 59,29 456,533 3515,304
25 -13,3
-13,3 13,3 176,89 -2352,64 31290,07
26 6,3 6,3
6,3 39,69 250,047 1575,296
27 4,2 4,2
4,2 17,64 74,088 311,1696
28 7,9 7,9
7,9 62,41 493,039 3895,008
29 0,5 0,5
0,5 0,25 0,125 0,0625
30 0,1 0,1
0,1 0,01 0,001 0,0001
31 -13,5
-13,5 13,5 182,25 -2460,38 33215,06
32 6,4 6,4
6,4 40,96 262,144 1677,722
33 2,6 2,6
2,6 6,76 17,576 45,6976
34 15,8 15,8
15,8 249,64 3944,312 62320,13
35 -7,1
-7,1 7,1 50,41 -357,911 2541,168
36 -5,7
-5,7 5,7 32,49 -185,193 1055,6
37 22,9 22,9
22,9 524,41 12008,99 275005,8
38 -8,6
-8,6 8,6 73,96 -636,056 5470,082
39 -7,9
-7,9 7,9 62,41 -493,039 3895,008
40 11,9 11,9
11,9 141,61 1685,159 20053,39
41 13,2 13,2
13,2 174,24 2299,968 30359,58
42 17,9 17,9
17,9 320,41 5735,339 102662,6
43 10,1 10,1
10,1 102,01 1030,301 10406,04
44 12,4 12,4
12,4 153,76 1906,624 23642,14
45 -0,2
-0,2 0,2 0,04 -0,008 0,0016
Σ
44,1 198,8 -154,7 353,5 4360 2857 1134485
Параметры нормального распределения
M∆*=∆n=44,145=0,98 мм
σ∆*=m=∆2n=4359,7145≈9,843 мм
Средняя ошибка
ϑ*=∆n=353,545≈7,856 мм
Коэффициент
k1практ=mϑ*=9,8437,856≈1,253
Вероятная ошибка
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:
+0,1; +0,1; -0,2; -0,5; +0,5; -1; +1,2; -1,5; +2; -2,6; +2,6; +3,2; +3,8; -4; -4,1; +4,2; +4,7; +4,9; -5,7; +6,3; +6,4; -7,1; +7,7; -7,9; +7,9; -7,9; -8,4; -8,6; +8,7; +9,1; +9,1; -10,1; +10,1; +11,9; +12,1; +12,4; +13,2; -13,3; -13,5; +15,8; -17,9; +17,9; -18; -22,4; +22,9.
Находим
r*=∆23=7,7 мм
Коэффициент
k2практ=mr*=9,8437,7≈1,278
Длину интервал примем 0,5m≈4,92 мм, тогда получаем 12 интервалов
№ Длины интервалов в долях m
Длины интервалов в мм Число ошибок mi
Частоты
Qi=min
Высоты прямоу-гольников
hi=Qi0,5 m
1 -3,0 m…-2,5m
-29,53 -24,61 0 0 0
2 -2,5 m…-2,0m
-24,61 -19,69 1 0,0222 0,203
3 -2,0 m…-1,5m
-19,69 -14,76 2 0,0444 0,406
4 -1,5 m…-1,0m
-14,76 -9,84 3 0,0667 0,610
5 -1,0 m…-0,5m
-9,84 -4,92 6 0,1333 1,219
6 -0,5 m…0m
-4,92 0,00 7 0,1556 1,422
7 0 m…+0,5m
0,00 4,92 11 0,2444 2,235
8 +0,5 m…+1,0m
4,92 9,84 7 0,1556 1,422
9 +1,0 m…+1,5m
9,84 14,76 5 0,1111 1,016
10 +1,5 m…+2,0m
14,76 19,69 2 0,0444 0,406
11 +2,0 m…+2,5m
19,69 24,61 1 0,0222 0,203
12 +2,5 m…+3,0m
24,61 0,00 0 0 0
Σ
— — — 45 1 9,144

Для вычисления координат сглаживающей кривой отобразим вычисления в таблице
№ Длины интервалов в долях m
ti=∆im
yi=1πe-t22
h=1m2
φ∆i=hyi
1 0
0 0,564 0,0718 0,0405
2 0,5m
0,5 0,498
0,0358
3 1,0m
1 0,342
0,0246
4 1,5m
1,5 0,183
0,0132
5 2,0m
2 0,076
0,0055
6 2,5m
2,5 0,025
0,0018
7 3,0m
3 0,006
0,0005

Как видно из графика, кривая φ∆i удовлетворительно сглаживает гистограмму.
Для оценки степени приближения статистического распределения (гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения) вычисляем величину
χ2=i=1kmi-npi2npi
Где
pi=Pti<T<ti+1=0,5Фti+1-Фti
Отобразим вычисления в таблице
№ Интервалы
ti
0,5Фti
pi
mi
npi
mi-npi2npi
1 -3 -2,5 –0,5 0,0062 0 0,279 0,279
2 -2,5 -2 –0,4938 0,0166 1 0,747 0,086
3 -2 -1,5 –0.4772 0,0440 2 1,980 0,000
4 -1,5 -1 –0.4332 0,0918 3 4,131 0,310
5 -1 -0,5 –0,3414 0,1500 6 6,750 0,083
6 -0,5 0 –0,1914 0,1914 7 8,613 0,302
7 0 0,5 0 0,1914 11 8,613 0,662
8 0,5 1 +0,1914 0,1500 7 6,750 0,009
9 1 1,5 +0,3414 0,0918 5 4,131 0,183
10 1,5 2 +0,4332 0,0440 2 1,980 0,000
11 2 2,5 +0,4772 0,0166 1 0,747 0,086
12 2,5 3 +0,4938 0,0062 0 0,279 0,279
13 3 +∞
+0,5 — — — —
Σ
— — — 1 45 45 2,278
Число степеней свободы
r=k-s-1=12-1-1=10
Полученное значение лежит между 2 и 3, по таблице для χ2=2, веротяность P=0,996, для χ2=3, P=0,981
Интерполируя получаем
Pχ2=2,278=0,981-0,9963-2∙2,278-2+0,996≈0,992
Вычисляем оценки скошенности и эксцесса
Находим
μ3*=∆3n=285745≈63,49
Sk*=μ3*σ∆*3=63,499,8433≈0,0666
μ4*=∆4n=113448545≈25211
E*=μ4*σ∆*4=252119,8434≈2,686
σSk=6n=645≈0,365
σE=24n=2445≈0,730
Как видим соотношения выполняются
Sk*=0,0666≤3σSk=1,095
E*=2,686≤5σE=3,65
В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд истинных ошибок является действительно рядом случайных ошибок, подчиняющихся приближенно нормальному закону.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

пять + 16 =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector