Теоретическая часть Переменная процентная ставка Реинвестирование вкладов

Теоретическая часть

Переменная процентная ставка. Реинвестирование вкладов.

Процентная ставка (Interest rate) — это плата, которую одно лицо (заемщик) передает другому лицу (кредитору) за то, что последний предоставляет первому во временное пользование денежные средства. Уровень процента определяется соотношением между спросом и предложением на рынке ссудных капиталов и выражается в ставке процента, которая представляет собой отношение величины процента к величине суммы кредита.
Иначе говоря, процентная ставка — это доходность денег, отданных взаймы.
Если рассматривать процентную ставку со стороны заемщика, то это сумма, которую взявший деньги в долг выплачивает кредитору за определенный период времени.
Переменная ставка процента — ставка процента по кредиту, которая может изменяться в течение всего срока кредита, но только с определенными договором условиями. Иногда переменную ставку процента еще называют «плавающей».
Плавающая процентная ставка — процентная ставка по кредитам, размер которой периодически пересматривается через согласованные промежутки времени (процентные периоды). При использовании плавающей ставки процентный риск несет заемщик.
Обычно плавающие процентные ставки применяется в условиях высоких темпов инфляции, быстрого роста и резких колебаний уровня ссудного процента, а также на международном облигационном рынке.
Плавающая процентная ставка – это ставка по средне- и долгосрочным кредитам, которая складывается из двух частей: подвижной основы, которая меняется в соответствии с рыночной конъюнктурой и фиксированной величины, обычной неизменной в течение всего периода кредитования или обращения долговых ценных бумаг.
Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет — P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i)n,                                                          (1)
где S- наращенная сумма, i  — годовая ставка сложных процентов, n — срок ссуды, (1+i)n — множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
S = P(1+i1)n1(1+i2)n2……(1+ik)nk (2)
где    i1, i2,…, ik — последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,…, nk соответственно.
Для понимания сложных процентов необходимы базовые знания банковской математики. Пусть капитал или основная сумма (англ. principal) обозначается как P. Частота начисления процентов, процентная ставка (англ. interest rate) — r, период ставки (по умолчанию имеется ввиду ежегодное начисление) и период вложения — t.
При простом начислении процентов, в конце каждого периода начисляется процент, согласно процентной ставке, на капитал, т.е. тело. Независимо от периода вложения, в конце каждого периода простые проценты начисляются на тело, т.е. на изначальный вложенный капитал.
При сложном начислении процентов, начисленные проценты, по окончании периода, присоединяются к капиталу. Это присоединение начисленных процентов к капиталу играет важнейшую роль во всем процессе начисления сложных процентов, т.к. в последующем периоде, новые проценты будут начисляться уже на новую, увеличенную сумму.
Таким образом, общая сумма вклада растет со скоростью экспоненты (т.е. все быстрее и быстрее), а не по модели арифметической прогрессии.
Сложные проценты (англ. compound interest) именуется по-разному в разных кругах и сферах деятельности. Мы используем термин «сложные проценты», но можно также встретить следующие названия сложных процентов:
проценты на проценты
эффективные проценты
композиционный процент
норма доходности с учетом реинвестирования
норма доходности с учетом капитализации
Таким образом, процесс, который происходит для начисления сложных процентов называется реинвестрование или капитализация.
Реинвестирование или сложный процент — это вид инвестирования, когда полученный доход не выводится по окончанию периода, а прибавляется к основной сумме. В результате, в следующем периоде, доход начисляется на сумму депозита плюс полученный процент. В результате сумма вклада начинает расти быстрее.
Реинвестированием прибыли называют повторное инвестирование полученной от изначального депозита прибыли с целью получения дохода. То есть, по сути, происходит добавление к вкладу тех средств, которые были начислены в виде процентов между периодами реинвестирования. Количество добавлений равняется числу реинвестирований за общий срок вклада. Проценты после каждого добавления начисляются уже на сумму вклада вместе с этими самыми добавлениями.
Очевидна выгода подобной стратегии вложения денежных средств, называемой в обиходе иногда «сложным процентом», или начислением процентов на проценты. В отличие от «простого процента», когда начисление происходит на начальный капитал. Возможно, поэтому российские банки практически не предлагают подобные формы вкладов для физических лиц. Либо применяют достаточно большой интервал времени для реинвестирований.
Доходы вкладчика в данном случае будут тем выше, чем чаще будет производиться реинвестирование процентов (РП).
Так, ежемесячное РП в течение всего нескольких лет позволяет увеличить начальный депозит в разы. Еще более выгодно, соответственно, еженедельное инвестирование.
Рассмотрим на примере начисление простого и сложного процентов:
Внесено 1000000 руб. на 5 лет на депозитный счет с годовой процентной ставкой 13%. 
Капитализация начисленных процентов осуществляется в конце каждого года.
P=1000000
r=13, ежегодно (англ. annually), сложные
t=5
Получаем следующий расчет:
Сложный процент:
Капитал Процент Сумма Период
1000000 130000 1130000 1
1130000 146900 1276900 2
1276900 165997 1442897 3
1442897 187576,6 1630474 4
1630474 211961,6 1842435 5

Из таблицы видно, что прибыль составила 842435 руб.
Проведем расчет при фиксированном проценте:
P=1000000
r=15,5, ежегодно (англ. annually), фиксированные
t=5
Простой процент:
Капитал Процент Сумма Период
1000000 155000 1155000 1
1000000 155000 1310000 2
1000000 155000 1465000 3
1000000 155000 1620000 4
1000000 155000 1775000 5

В данном случае прибыль меньше, 775000 руб., хотя процентная ставка была выше (15,5 против 13).
Важно понять, что при вложении капитала в депозит со сложными процентами, имеет смысл держать счет открытым как можно дольше. Суть в том, что сумма на счету растет тем быстрее, чем дольше открыт счет.
Вывод: Сложные проценты, реинвестирование или капитализация — это очень важные явления в банковских финансах. В долгосрочном периоде, депозит со сложным начислением процентов может показать невиданное ускорение роста капитала, при этом сохраняя риск потерь на относительно низком уровне.

Эквивалентные ставки. Эффективная ставка. Номинальная ставка.

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.
Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.
Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.
Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:
i = (1 + j / m)m — 1. (3)
j = m[(1 + i)1 / m — 1]. (4)
Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.
Чтобы уйти от необходимости извлекать громоздкие корни при расчётах с использованием сложных процентов, для задания сложных процентных ставок на практике применяются так называемые номинальные процентные ставки. Их суть заключается в следующем.
Проценты по вкладу будут начисляться не непрерывно, а с некоторой периодичностью — раз в год, квартал, месяц или даже день. Этот процесс начисления процентных денег и их присоединения к сумме вклада называется «капитализацией процентов». Допустим, что капитализация процентов происходит m раз в год. Тогда, если известна j — номинальная процентная ставка по вкладу, то каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в
1+j/m раз.
Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.
Пример: каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?
Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:
j = m[(1 + i)1 / m — 1] = 2[(1 + 0,25)1/2 — 1] = 0,23607.
Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:
j = m[(1 + i)1 / m — 1] = 4[(1 + 0,25)1/12 — 1] = 0,22523.
Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.
Если задана номинальная процентная ставка, и капитализация процентов осуществляется m раз в год, то за год сумма вклада увеличится в
(1+j/m)m раз.
Так как, с другой стороны, всегда должно выполняться соотношение для сложной процентной ставки: S(1) = (1+ i ) S0, то
i=(1+j/m)m −1 (5)
Найденная таким образом сложная процентная ставка называется «эффективной», так как она, в отличие от номинальной ставки, характеризует настоящую доходность (эффективность) ссудной операции.
Пример: если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и проценты начисляются каждый месяц, то эффективная процентная ставка будет составлять
i=(1+0,1812)12 −1≈0,1956=19,56% годовых,
то есть на полтора процента больше, чем заявлено.
Вообще говоря, эффективная процентная ставка всегда больше, чем номинальная. В этом нетрудно убедиться, разложив правую часть соотношения (5) по формуле бинома Ньютона.
Для различных случаев сложных процентов получим уравнение эквивалентности, приравняв формулы:
(1+ic)n = (1+j/m)mn
Сложная годовая ставка ссудного процента:
ic = (1+j/m)m – 1 (6)
Номинальная ставка ссудного процента:
j = m(m1+ic – 1) (7)
Полученная сложная годовая ставка ссудного процента ic, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.

Немедленные и отложенные ренты. Рента с периодом платежей большим периода применения процентной ставки.

Оплата по заключенным сделкам может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени. Погашение среднесрочной и долгосрочной банковской задолженности, коммерческого кредита, инвестирование средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения и т.п. в большинстве случаев предусматривают выплаты, производимые через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые обычно именуют потоком платежей.
Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называется финансовой рентой, или аннуитетом.
В буквальном переводе «аннуитет» подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат.
Очевидно, что рента — это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно [2, с.28].
Финансовая рента имеет следующие параметры:
член ренты — величина каждого отдельного платежа;
период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами,
срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году,моменты платежа внутри периода ренты [1, с.62].
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей.
Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.
Обычная годовая рента: пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставкеi. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i)n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
         S=R+R(1+i)+R(1+i)2+. . . + R(1+i)n-1,
в которой первый член равенR, знаменатель (1+i), число членов n. Эта сумма равна
         ,                        (7)
где
                                                               (8)
и называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами.
 Пример: в течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
.
 Годовая рента, начисление процентов m раз в году: рассмотрим как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
R(1+j/m)m(n-1), R(1+j/m)m(n-2), . . . , R.
 Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)m, а число членов  n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна
.                                             (9)
Рента p-срочная, m=1
Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. ЕслиR- годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
,
у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов np. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
         ,           (10)
где
                                                          (11)
коэффициент наращения p-срочной ренты при m=1.
Рента p-срочная, p=m:
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
.
 Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.
Таким образом получаем:
.                (12)
Рента p-срочная, p≥1, m≥1
Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p≠m.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
.
Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т.д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель  (1+j/m)m/p, число членов nm.
В результате получаем наращенную сумму
.             (13)
Из данной формулы легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m.
 Список используемой литературы
1. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. — М.: Экзамен, 2005. — 128с.
2. Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. — 2004. — №1. — с.28-31.
3. Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. — 4-е изд. — М.: Дело, 2004. — 400с.

Практическая часть
Вексель, имеющий номинальную стоимость 4 млн. руб., учтен в банке по ставке 15,5% годовых за 156 дней до его погашения. Определить сумму полученную владельцем векселя при учете.
Решение: По процентному векселю начисляются проценты по ставке, которая указывается в векселе. Сумму начисленных процентов можно определить по формуле:
I = NC%ts360
N — номинал векселя;
С% — процентная ставка, начисляемая по векселю;
tS — количество дней от начала начисления процента до его погашения.
Тогда сумма процентов I = 40000000,155*156360 = 268666,67 руб.
Сумма, полученная владельцем векселя при учете, равна сумме начисленных процентов и номинала: 4000000+268666,67=4268666,67 руб.
Первый платеж, равный 9 тыс. руб. должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 9,2 тыс. руб. выплачивается через 270 дней. Сравнить современную стоимость этих платежей при простой процентной ставке 15% годовых и временной базе в 360 дней.
Решение: Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.
Pn = Sn1+n*in
Напомним, что n = t/K – срок ссуды в годах. Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.

Pn = Sn1+tK*in
P1 = 90001+30360*0,15 = 8888,89 руб.
P2 = 92001+270360*0,15 = 8269,66 руб.
P2<P1

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

три + девятнадцать =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector