Вариант 9 Дана статистическая совокупность характеризующая длину нитив пряже (в метрах)

Вариант 9
Дана статистическая совокупность, характеризующая длину нитив пряже (в метрах):
51,55 52,09 82,72 84,58 78,89 73,74
61,25 62,00 53,97 55,07 85,73 76,48
67,13 67,64 62,41 62,50 58,10 80,40
69,34 69,49 67,93 68,28 62,84 86,34
71,85 72,71 70,02 70,56 68,97 60,21
75,18 75,64 72,78 73,05 70,69 64,93
77,47 77,89 75,84 76,03 73,68 69,10
51,59 82,51 78,04 78,24 76,11 71,32
61,86 53,08 82,94 85,06 80,34 73,78
67,37 62,39 54,74 57,12 86,11 76,94
69,40 67,86 62,46 62,80 59,38 80,58
72,27 69,70 68,03 68,74 63,44 86,55
75,32 72,74 70,26 70,65 69,07 60,21
77,59 75,71 73,03 73,59 71,13 65,46
69,34 78,03 76,01 76,05 69,34 71,40
65,65 60,36 78,11 80,73 76,98 73,96
71,54 77,38 80,76 74,98

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами (первый интервал 51,55 — 56,55 и т.д.) и начертить гистограмму.
Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.
Используя критерии — Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

РЕШЕНИЕ

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами и начертить гистограмму.
Построим интервальный ряд с равными интервалами, для этого определим величину одного интервала, т.к. границы первого интервала заданы, то величина одного интервала будет равна
h=86,55-51,55=35
Тогда величины интервалов составят: 51,55-56,55; 56,55-61,55; 61,55-66,5 и т.д. С ненулевыми частотами получится 7 интервалов:
51,55-56,55; 56,55-61,55; 61,55-66,5; 66,5-71,5; 71,5-76,5; 76,5-81,5; 81,5-86,5. Для каждого интервала определим:
— частоту
— относительную частоту – частость
— накопленную относительную частоту
Результаты расчета представим в таблице
Границы интервалов Частота, ni
Частость,
ni|n

Накопленные относительные частоты
51,55-56,55 7 0,07 7
56,55-61,55 7 0,07 14
61,55-66,55 12 0,12 26
66,55-71,55 26 0,26 52
71,55-76,55 23 0,23 75
76,55-81,55 16 0,16 91
81,55-86,55 9 0,09 100
Итого 100 1  

Построим гистограмму распределения

Найдем эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

FX=0, x<51,50,07, 51,5≤x<56,50,14, 56,5≤x<61,50,26, 61,5≤x<66,50,52, 66,5≤x<71,50,75, 71,5≤x<76,50,91, 76,5≤x<81,51, x≥86,5

Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.
Расчет произведем по не сгруппированным данным, с помощью EXCEL.
среднее значение СРЗНАЧ(A2:A101)
71,03
дисперсия ДИСП(A2:A101)
67,797
среднее квадратическое отклонение КОРЕНЬ(E3) 8,234

СТАНДОТКЛОН(A2:A101)
8,234
коэффициент вариации E5/E2*100 11,6%
размах вариации МАКС(A2:A101)-МИН(A2:A101) 35
Определим среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса для сгруппированных данных.
Строим расчетную таблицу

Группы,
xi xi/ fi
xi/ fi
xi⋰-x
xi⋰-x2fi
xi⋰-x3fi
xi⋰-x4fi
51,55-56,55 69,05 7 378,35 -16,75 1963,938 -32895,9531 551007,215
56,55-61,55 74,05 7 413,35 -11,75 966,4375 -11355,6406 133428,777
61,55-66,55 79,05 12 768,6 -6,75 546,75 -3690,5625 24911,2969
66,55-71,55 84,05 26 1795,3 -1,75 79,625 -139,34375 243,851563
71,55-76,55 69,05 23 1703,15 3,25 242,9375 789,546875 2566,02734
76,55-81,55 74,05 16 1264,8 8,25 1089 8984,25 74120,0625
81,55-86,55 79,05 9 756,45 13,25 1580,063 20935,82813 277399,723
S
100 7080   6468,75 -17371,875 1063677
S/n     70,8   64,6875 -173,71875 10636,77
Среднюю величину в интервальном ряду распределения определим по формуле средней арифметической взвешенной
x=i=1nxi⋰fii=1nfi
где
x-средняя величина, xi⋰- серединное значение признака в интервале
n-число единиц совокупности, fi-частота
x=7080100=70,8 м.
Выяснение общего характера распределения включает также оценку формы распределения, определение показателей асимметрии As и эксцесса Ex.
Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.
As=m3σ3
где
mi=xi⋰-xlfifi- центральный момент l-го порядка
σ=xi⋰-x2fifi-среднее квадратическое отклонение
Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии
SAs=6n-2n+1n+3
Если выполняется соотношение AsSAs<3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение AsSAs>3, то асимметрия существенная и распределение в генеральной совокупности не является симметричным.
Получаем
SAs=6100-2100+1100+3=0,238
σ=64,6875=8,043

As=m3σ3=-173,728,0433=-0,33
В анализируемом ряду распределения наблюдается левосторонняя асимметрия

AsSAs=0,330,238=1,404<3
Другой характеристикой формы распределения является эксцесс (излишество).
Ех=m4σ4-3
Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику
ЕхSЕх
SЕх=24nn-2(n-3)n+12n+3(n+5)
SЕх-средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса
Если отношение ЕхSЕх>3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.
Оценим существенность показателя эксцесса
Ех=10636,768,0434-3=-0,458<0
Распределение более плосковершинное, чем нормальное.
SЕх=24*100100-2100-3100+12100+3100+5=0,455

ЕхSЕх=0,4580,455=1,01<3
Данное распределение незначительно круче по сравнению с нормальным.
Используя критерии — Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Вычислим теоретические частоты
ni/=nhσφui=100*58,043φui=62,17φui
φui- табличные значения
Составим расчетную таблицу
хi
ui=xi-хnσ
φui
ni/=62,17φui

9,4 -2,08 0,0459 2,85
11,4 -1,46 0,1374 8,54
13,4 -0,84 0,2803 17,43
15,4 -0,22 0,3894 24,21
17,4 0,40 0,3683 22,90
19,4 1,03 0,2347 14,59
21,4 1,65 0,1023 6,36
Сравним эмпирические и теоретические частоты
ni
ni/
(ni- ni/)2
(ni- ni/)2ni/
7 2,85 17,22 6,04
7 8,54 2,37 0,28
12 17,43 29,48 1,69
26 24,21 3,20 0,13
23 22,90 0,01 0,00
16 14,59 1,99 0,14
9 6,36 6,97 1,10
100 96,88
χ2набл=9,38

По таблице критических точек распределения χ2 по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=7-3=4 находим критическую точку правосторонней критической области
χ2крит0,05;4=9,49
Так как χ2набл< χ2крит , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем. Эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо.

Для исследования зависимости объема производства (У) от основных фондов (X) получены статистические данные по 55 предприятиям за год.
, тыс. руб.

12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5
250-260 1

260-270
3

270-280
1 2

280-290

3 3 1

290-300

8 9

300-310

2 7 6

310-320

2

320-330

1 3

330-340

2
340-350

1

а) Вычислить групповые средние и , построить корреляционные поля;
б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость
найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на корреляционных полях;
вычислить коэффициенты корреляции и детерминации, сделать выводы о тесноте и направлении связи;
вычислить среднюю абсолютную процентную ошибку; для коэффициента корреляции генеральной совокупности; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности = 0,05.

РЕШЕНИЕ

а) Вычислить групповые средние и , построить корреляционные поля
  j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ny
 
i
X 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5

Y

1 255 1                 1
2 265   3               3
3 275   1 2             3
4 285     3 3 1         7
5 295       8 9         17
6 305       2 7 6       15
7 315           2       2
8 325           1 3     4
9 335               2   2
10 345                 1 1
 nx
  1 4 5 13 17 9 3 2 1 55

б) Для подсчета числовых характеристик: выборочных средних, выборочных средних квадратичных отклонений и выборочного корреляционного момента составляем расчетную таблицу. При заполнении таблицы осуществляем контроль по строкам и столбцам
mxi=myj=55
mijxi=mxixi=16405
mijxi=myjyj=1717,5
ximijyi=yjmijxi=519462,5

  j
1 2 3 4 5 6 7 8 6000752000259 10 11 12 13 14
i
Y 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5   mxixi
myjyj
mxixi2
ximijyi

X

1 255 1                 1 255 12,5 65025 3187,5
2 265   3               3 795 52,5 210675 13912,5
3 275   1 2             3 825 62,5 226875 17187,5
4 285     3 3 1         7 1995 182,5 568575 52012,5
5 295       8 9         17 5015 512,5 1479425 151187,5
6 305       2 7 6       15 4575 507,5 1395375 154787,5
7 315           2       2 630 75 198450 23625
8 325           1 3     4 1300 165 422500 53625
9 335               2   2 670 95 224450 31825
10 345                 1 1 345 52,5 119025 18112,5
11 myj
1 4 5 13 17 9 3 2 1 55 16405 1717,5 4910375 519462,5
12 myjyj
12,5 70 112,5 357,5 552,5 337,5 127,5 95 52,5 1717,5        
13 mijxi
255 1070 1405 3825 5075 2785 975 670 345 16405        
14 myjyj2
156,3 1225 2531,3 9831,3 17956 12656,3 5418,8 4513 2756,25 57043,75        
15 yjmijxi
3188 18725 31613 105188 164938 104438 41438 31825 18112,5 519462,5        
Вычисляем выборочные средние
x=mijxin=mxixin=1640555=298,3 y=myjyjn=1717,555=31,23
Выборочные дисперсии находим по формулам
sx2=1n-1mxixi2-1n(mxixi)2=1544910375-155*298,32=318,72
sу2=1n-1myjyj2-1n(myjyj)2=15457043,75-155*31,232=63,165
Корреляционный момент вычисляем по формуле
sxy=1n-1mxixiyj-1nmyjyjmxixi=154519462,5-16405*1717,555=132,946

Оценкой теоретической линии регрессии является эмпирическая линия регрессии, уравнение которой имеет вид
y=y+rxysysx(x-x)
где
sx=318,72=17,853 sy=63,165=7,948

Коэффициент корреляции
rxy=sxysx sy=132,94617,853*7,948=0,937
Коэффициент детерминации
rxy2=0,9372=0,878
Вариация объема производства на 87,8 % объясняется вариацией основных фондов.
Согласно шкале Чеддока коэффициент корреляции близок к 1, связь между объемом производства и стоимостью основных фондов тесная.
Вычислим среднюю абсолютную процентную ошибку.
С этой целью составим вспомогательную таблицу.
№ п/п
x
y

1 12,5 255,0 308,04 17,22
2 17,5 267,5 318,26 15,95
3 20,8 281,0 325,08 13,56
4 26,1 294,2 335,79 12,38
5 30,1 298,5 344,13 13,25
6 33,8 309,4 351,67 12,01
7 37,5 325,0 359,17 9,51
8 41,3 335,0 366,83 8,68
9 47,5 338,0 379,62 10,96
10 52,5 345,0 389,84 11,50
Итого

125,02
Среднее

2,27
Таким образом, средняя абсолютная процентная ошибка Aср составляет 2,27%. Отсюда делаем вывод, что построенное уравнение регрессии Y на X очень хорошо аппроксимирует исходные данные.
Для оценки значимости (нулевая гипотеза ) воспользуемся формулой

По таблице распределения Стьюдента при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическое значение
Сравниваем значения и . Так как , то считаем, что выборочные данные не согласуются с выдвинутой гипотезой и значение существенно отличается от нуля. Поэтому с доверительной вероятностью можно утверждать, что и коррелированны.
Средняя квадратическая ошибка для парного линейного коэффициента корреляции достаточно большой выборки вычисляется по формуле
σr=1-r2n=1-0,87855=0,016
где r2 — коэффициент корреляции генеральной совокупности; n — объем выборки.
Полагая доверительную вероятность Р, т. е. вероятность, с которой гарантируются результаты, равной 0,95, находим в таблице соответствующее ей значение t, равное 1,96.
Получим доверительный интервал для коэффициента корреляции:
0,937 – 1,96*0,016≤ r ≤0,937+1,96*0,016
0,906 ≤ r ≤0,968

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

три × 4 =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector