Выберите подходящую нелинейную модель линеаризуйте ее и оцените параметры

Выберите подходящую нелинейную модель, линеаризуйте ее и оцените параметры, если имеются следующие данные (- объясняющая переменная, — зависимая переменная).

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 5 12,3 20,9 30,3 40,5 51,4 62,7 74,6 87,0 99,8

Решение.

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + aОценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = b ln(x) + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).Система нормальных уравнений.a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля наших данных система уравнений имеет вид10a + 6.56 b = 484.56.56 a + 5.22 b = 403.4Домножим уравнение (1) системы на (-0.66), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-6.56a -4.33 b = -319.776.56 a + 5.22 b = 403.4Получаем:0.89 b = 83.63Откуда b = 93.8252Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):10a + 6.56 b = 484.510a + 6.56 • 93.8252 = 484.510a = -130.99a = -13.0971Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 93.8252, a = -13.0971Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = 93.8252 ln(x) + 13.0971Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
ln(x) y ln(x)2 y2 ln(x) • y
0 5 0 25 0
0.3 12.3 0.0906 151.29 3.7
0.48 20.9 0.23 436.81 9.97
0.6 30.3 0.36 918.09 18.24
0.7 40.5 0.49 1640.25 28.31
0.78 51.4 0.61 2641.96 40
0.85 62.7 0.71 3931.29 52.99
0.9 74.6 0.82 5565.16 67.37
0.95 87 0.91 7569 83.02
1 99.8 1 9960.04 99.8
6.56 484.5 5.22 32838.89 403.4
Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.Выборочные дисперсии:Среднеквадратическое отклонениеКоэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:Индекс корреляции.Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a ebxОценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a ebx + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bxСистема нормальных уравнений.a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•x10a + 55 b = 15.5255 a + 385 b = 96.08-55a -302.5 b = -85.3555 a + 385 b = 96.08Получаем:82.5 b = 10.73b = 0.130110a + 55 b = 15.5210a + 55 • 0.1301 = 15.5210a = 8.36a = 0.8363Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1301, a = 0.8363Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = 100.83633088e0.1301x = 6.86011e0.1301xДля расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
x ln(y) x2 ln(y)2 x • ln(y)
1 0.7 1 0.49 0.7
2 1.09 4 1.19 2.18
3 1.32 9 1.74 3.96
4 1.48 16 2.19 5.93
5 1.61 25 2.58 8.04
6 1.71 36 2.93 10.27
7 1.8 49 3.23 12.58
8 1.87 64 3.51 14.98
9 1.94 81 3.76 17.46
10 2 100 4 19.99
55 15.52 385 25.62 96.08
Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.Выборочные дисперсии:Среднеквадратическое отклонениеКоэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:Индекс корреляции.Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a xbОценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a xb + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).Система нормальных уравнений.a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля наших данных система уравнений имеет вид10a + 6.56 b = 15.526.56 a + 5.22 b = 11.36Домножим уравнение (1) системы на (-0.66), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-6.56a -4.33 b = -10.246.56 a + 5.22 b = 11.36Получаем:0.89 b = 1.12Откуда b = 1.3Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):10a + 6.56 b = 15.5210a + 6.56 • 1.3 = 15.5210a = 6.99a = 0.699Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.3, a = 0.699Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = 100.69900427×1.3 = 5.00039×1.3Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
ln(x) ln(y) ln(x)2 ln(y)2 ln(x) • ln(y)
0 0.7 0 0.49 0
0.3 1.09 0.0906 1.19 0.33
0.48 1.32 0.23 1.74 0.63
0.6 1.48 0.36 2.19 0.89
0.7 1.61 0.49 2.58 1.12
0.78 1.71 0.61 2.93 1.33
0.85 1.8 0.71 3.23 1.52
0.9 1.87 0.82 3.51 1.69
0.95 1.94 0.91 3.76 1.85
1 2 1 4 2
6.56 15.52 5.22 25.62 11.36
Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.Выборочные дисперсии:Среднеквадратическое отклонениеКоэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:Индекс корреляции.Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + aОценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид вид y = b/x + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.После линеаризации получим: y=bx + aДля оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).Система нормальных уравнений.a•n + b∑(1/x) = ∑ya∑1/x + b∑(1/x2) = ∑y/xДля наших данных система уравнений имеет вид10a + 2.93 b = 484.52.93 a + 1.55 b = 80.29Домножим уравнение (1) системы на (-0.29), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-2.93a -0.85 b = -140.512.93 a + 1.55 b = 80.29Получаем:0.7 b = -60.22Откуда b = -89.0634Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):10a + 2.93 b = 484.510a + 2.93 • (-89.0634) = 484.510a = 745.46a = 74.5364Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -89.0634, a = 74.5364Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = -89.0634 / x + 74.5364Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
1/x y 1/x2 y2 y/x
1 5 1 25 5
0.5 12.3 0.25 151.29 6.15
0.33 20.9 0.11 436.81 6.97
0.25 30.3 0.0625 918.09 7.58
0.2 40.5 0.04 1640.25 8.1
0.17 51.4 0.0278 2641.96 8.57
0.14 62.7 0.0204 3931.29 8.96
0.13 74.6 0.0156 5565.16 9.33
0.11 87 0.0123 7569 9.67
0.1 99.8 0.01 9960.04 9.98
2.93 484.5 1.55 32838.89 80.29
Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.Выборочные дисперсии:Среднеквадратическое отклонениеКоэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:
Индекс корреляции.Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y
Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a bxОценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a bx + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + x ln(b)Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).Система нормальных уравнений.a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля наших данных система уравнений имеет вид10a + 55 b = 15.5255 a + 385 b = 96.08Домножим уравнение (1) системы на (-5.5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-55a -302.5 b = -85.3555 a + 385 b = 96.08Получаем:82.5 b = 10.73Откуда b = 0.1301Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):10a + 55 b = 15.5210a + 55 • 0.1301 = 15.5210a = 8.36a = 0.8363Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1301, a = 0.8363Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = 100.8363*100.1301x = 6.86011*1.3492xДля расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
x ln(y) x2 ln(y)2 x • ln(y)
1 0.7 1 0.49 0.7
2 1.09 4 1.19 2.18
3 1.32 9 1.74 3.96
4 1.48 16 2.19 5.93
5 1.61 25 2.58 8.04
6 1.71 36 2.93 10.27
7 1.8 49 3.23 12.58
8 1.87 64 3.51 14.98
9 1.94 81 3.76 17.46
10 2 100 4 19.99
55 15.52 385 25.62 96.08
Параметры уравнения регрессии.Выборочные средние.Выборочные дисперсии:Среднеквадратическое отклонениеКоэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:Индекс корреляции.Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

12 − 1 =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock detector